高等数学（极限与连续） 个人学习总结

极限重要公式

求极限参考链接：
https://www.sohu.com/a/214347954_507476

关于e的特殊极限

\[\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e \]

\[\lim_{x \to 0} (1+ x)^{\frac{1}{x}} = e \]

关于x的幂指函数的特殊极限

\[\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1 \]

\[\lim_{x \to 0^+} x^x = 1 \]

\[\lim_{x \to 0^+} x \ln x =0 \]

带根号的特殊极限

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \]

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \]

泰勒展开

1、\(sin(x)\)

\[sin(x) = x-\frac{1}{6}x^3+O(x) \]

\[sin(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]

2、\(arcsin(x)\)

\[arcsin(x) = x+\frac{1}{6}x^3+O(x) \]

\[arcsin(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]

3、\(tan(x)\)

\[tan(x) = x + \frac{1}{3}x^3+O(x^3) \]

\[tan(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \]

4、（必须要记牢，推导麻烦且易错）\(arctan(x)\)

\[arctan(x) = x - \frac{1}{3}x^3 + O(x^3) \]

\[arctan(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^{2n+1}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \]

5、\(cos(x)\)

\[cos(x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 + O(x^4) \]

\[cos(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \]

6、\(ln(1+x)\)

\[ln(1+x) = x-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^3) \]

\[ln(1+x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} \]

7、\(e^x\)

\[e^x = 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+O(x^3) \]

\[e^x = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^n}{n!} \]

8、\((1+x)^{\alpha}\)

\[(1+x)^{\alpha} = 1+\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 +O(x) \]

\[ (1+x)^{\alpha} = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{C^n_{\alpha}}{n!} \cdot x^n \]

9、\(\frac{1}{1-x}\)

\[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + O(x^3) \]

\[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \]

10、\(a^x\)

\[a^x = 1 + x \ln a \]

11、\((1+x)^{\frac{1}{x}}\)

\[(1+x)^{\frac{1}{x}} = e(1-\frac{x}{2} + \frac{11x^2}{24} - \frac{7x^3}{16} \cdots) = e - \frac{x}{2}e + \frac{11x^2}{24}e - \frac{7x^3}{16}e \cdots \]

（易错点）使用等价无穷小和泰勒展开求极限的条件

重点！！

1、做乘除法时，可以

2、做加减法时，只有部分情况可以，检验是否可行的方法：

对于

\[\lim a+ b \]

带入泰勒或者等价无穷小后，看看是否满足\(\frac{a}{b} = \pm 1\)
是则不能带入，否则可以带入；例如：

\[\lim \cos x - 1 = (1-\frac{x^2}{2}) - 1 = -\frac{x^2}{2} \]

因为带入后为\(\frac{1-\frac{x^2}{2}}{-1} \neq \pm1\)
而$$\lim \sin x - \tan x$$不行，因为带入后为\(\frac{x}{-x} = -1\)

极限计算题分类

函数极限的计算

1、分子为两根式之差

使用平方差公式化简

例如：1000题的1.7 \(\frac{\sqrt{5x-1} - \sqrt{2x+5}}{x^2-4}\)

2、指数函数带有\(\frac{1}{x}\)或带有\(\ln f(x)\)的

简单因式（的倒数）往下放

例如：
1000题的1.9 \(\lim\limits_{x \to \infty} e^{-x}(1+\frac{1}{x})^{x^2}\)

1.11

3、带有积分的

化成积分分式，用洛必达消去积分

例如：
1000题的1.8

4、三角函数无法带入泰勒展开式计算的

例如：
1000题的1.5

5、使用拉格朗日中值定理

如果在\([a,b]\)(开区间、闭区间都可以)可导、连续，则：

$ \exists \epsilon \in (a,b)$ 使得

\[f'(\epsilon)(b-a) = f(b) - f(a)$$ 或 $$f'(\epsilon) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \]

6、\(1^\infty\)极限的计算

\(x \to \infty ,g(x)^{f(x)}\)即等于\(e^A\)

\[A= f(x)[g(x)-]) \]

例如：1.66

无穷小比阶

1、若\(a \neq 0,k>0\)，\(x \to 0\)时，\(f(x) \sim ax^k\)， \(\Rightarrow\) \(x \to 0\)时，f(x)是x的k阶无穷小

2、若\(k>0\)时，\(\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^k}\) \(\Rightarrow\) \(x \to 0,f(x)\)是\(x\)的\(k\)阶无穷小

3、若\(f(x) = a_0+a_1x+ \cdots a_k x^k \cdots\),其中\(a_0+a_1x+ \cdots a_{k-1}=0\)，但\(a_k \neq 0\),则\(f(x)\)是x的k阶无穷小

4、若\(x \to 0\),\(g(x)\)是x的n阶无穷小,\(f(x)\)是x的m阶无穷小,$$\int^{g(x)}_0 f(t) dt$$是x的\((m+1) \cdot n\)阶无穷小

5、若\(x \to 0\)时\(f(x)\)与\(g(x)\)分别是x的m阶无穷小和n阶无穷小，又\(\lim\limits_{x \to 0} h(x) = a \neq 0\)，则
1）\(f(x) h(x)\)是x的m阶无穷小
\(f(x)g(x)\)是x的\(m+n\)阶无穷小
2）\(m>n\)时，\(f(x)+g(x)\)是x的n阶无穷小
3）\(m=n\)时，\(f(x)+g(x)\)是x的n阶或高于n阶的无穷小

数列极限的计算

1、转化为函数极限来算

然后就可以用洛必达、拉格朗日中值定理

2、先求和或积

3、夹逼准则

1、简单放缩

n个正数之和不超过 n乘以最大值，不小于n乘以最小值

例如：$$\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} \cdots \frac{n}{n^2+n})$$

设原极限为A；
数列中最大值为\(\frac{n}{n^2+1}\)，最小值为\(\frac{n}{n^2+n}\)

\[\frac{n}{n^2+n} \cdot n \leq A \leq \frac{n}{n^2+1} \cdot n \]

\[\Rightarrow \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \leq A \leq \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} \]

\[\Rightarrow A=1 \]

有限m个数相加

例如：$$
\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n +\cdots a_m^n}, 0 \leq a_i(i = 1,2,3, \cdots m)$$

这种题要注意，要找最大值，大于最大值，小于m个最大值之和

设原数列和为A，其最大值为\(a_1=max(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\)则

\[a_1^n \leq A \leq a_1^n \cdot m \]

\[\Rightarrow a_1 \leq \sqrt[n]{A} \leq a_1 \cdot m^{\frac{1}{n}} \]

\[\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} A = a_1=max(a_1, \cdots ,a_m) \]

重要结论：
形如$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n+\cdots a_m^n} = max(a_1,a_2,\cdots,a_m)$$m有限

例1：$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{2020 + 2ⁿ⁺³n+4^n}=4$$

例2：$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x2}{2})^n}$$(记得分类讨论)

4、单调有界准则

5、数列的构造法

求极限的应用

1、间断点

第一类

可短间断点
\(x = x_0\) 时无定义

跳跃间断点
左右极限不等

第二类

无穷间断点
无极限，且无界

振荡间断点
无极限却有界

2、函数曲线渐近线的求法

垂直渐近线

1. 先找无定义点 \(x_0\)
2. 求该点的极限$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ 极限存在则，\(x = x_0\) 为垂直渐近线

水平渐近线

求极限 $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = A$$ \(A\)是否存在

存在则\(y = A\) 为水平渐近线

斜渐近线

若\(y = f(x)\) 满足：

1. \[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k$$ $k$ 存在 \]

则有斜渐近线 \(y = kx + b\)

3、利用导数的定义计算特殊的导数