算法初步学习一 穷举法的学习

　　今天学习常见的算法之一”穷举法“，所谓穷举则为就是把有限集合的所有元素逐一进行比较，进行判断和处理，从而得出所需结果。

　　穷举的一个比较实用的示例百鸡问题：公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元3只，求100元钱买一百只鸡，公鸡、母鸡、小鸡的数量各是多少。

　　用我们所学的数学可以得出以下方程式：

　　　　a+b+c=100;

　　　　a*5+b*3+c/3=100;

　　　　c%3=0;

　　问题分析，100元钱买100只鸡的问题，母鸡公鸡小鸡的数量都是不确定的有可能有多种组合答案，不管有多少种都要满足以上列出的方程式，进而我们可以猜测满足问题的答案可能为三个数组，对应索引的数量组成问题的答案，根据问题进一步联想100元钱买100只鸡，从而问题升华为n元钱买n只鸡的问题，进而问题转化为了程序

　　由于我所熟悉的语言为c#所以今后大部分使用c#实现算法思想，请大家见谅：

　　　　从分析中可以得知声明三个数组

　　　　　　  ArrayList g = new ArrayList(),--公鸡

　　　　　　　　 m = new ArrayList(),--母鸡

　　　　　　　　 s = new ArrayList();--小鸡

　 因为母鸡、公鸡和小鸡的各自的数量应为0到n的任意整数，所以总结出我们可以使用最直接的方法使用三层循环的方式，找出我们所有的答案，这就使用了穷举法处理了数组中所有的元素了实现代码如下

public int chicken_question(int n, ArrayList g, ArrayList m, ArrayList s)
        {
            int a, b, c; int k = 0;
            for (a = 0; a <= n; a++)
            {
                for (b = 0; b <= n; b++)
                {
                    for (c = 0; c <= n; c++)
                    {
                        if ((a + b + c) == n && (5 * a + 3 * b + c / 3) == n && c % 3 == 0)
                        {
                            g.Add(a);
                            m.Add(b);
                            s.Add(c);
                            k++;
                        }
                    }
                }
            }

            return k;
        }

 

　　以上这个实现方式有三重循环，第一重循环执行次数为n+1次，第二重循环为（n+1）*（n+1）次，第三次循环为n+1的三次方，当n=100时最内层循环的执行就大于100万次之多，从而效率肯定不理想。

　　从数学方程式的解析思路，一共有三个未知数，应该可以减少一个未知数即减少一层循环，那么可不可以减少循环的次数呢？答案是肯定的，这就使用的算法的思想，使用极限的方式分析问题，假如n元钱全买公鸡最多能买多少呢，无疑是n/5，从而得知最多买母鸡数量为n/3，即最外层循环的最大次数为n/5+1，第二层循环次数最大为n/3+1，小鸡的数量为c=n-a-b从而内层循环去除，实现代码如下

  public int chicken_questiontwo(int n, ArrayList g, ArrayList m, ArrayList s)
        {
            int a, b, c; int k = 0;
            int i = n / 5, j = n / 3;
           
            for (a = 0; a <= i; a++)
            {
                for (b = 0; b <= j; b++)
                {
                    c = n - a - b;
                    if ((5 * a + 3 * b + c / 3) == n && c % 3 == 0)
                    {
                        g.Add(a);
                        m.Add(b);
                        s.Add(c);
                        k++;
                    }
                }
            }

            return k;
        }

　　分析以上代码，我们省略了穷举方法中没有必要的一些组合，从而提高了程序的运行效率，第一层循环执行的次数为n/5+1,第一层为(n/5+1)*(n/3+1)，当n为100时内层循环执行次数为714次，从而大大提高了程序的执行效率，可见算法分析中极限分析十分重要。

　　以上是我学习穷举法的一些总结，没有创新的地方，单纯的学习和积累。如果错误请大家纠正谢谢。学习算法还要兼修数学、计算机相关理论知识，以后学习需要更加努力，加油吧大家~~啊哈哈