[BZOJ 3652]大新闻

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题意

随机从 \([0,n)\) 中选取一个整数 \(x\), 并从 \([0,n)\) 中再选取一个整数 \(y\). 有 \(p\) 的概率选取一个能令 \(x\operatorname{xor} y\) 最大的 \(y\), 否则会随机选取一个 \(y\). 求 \(x\operatorname{xor}y\) 的期望.

\(n\le 1\times 10^{18}\).

题解

一道情况不算多的特判题吧

首先随机决策的部分超级好算. 因为期望的线性性我们可以把每一位最后异或和为 \(1\) 的概率算出来求和作为这部分的答案. 方法就是计算出在所有 \([0,n)\) 的数中当前位为 \(0\) 的概率(这大概好算点) \(z\), 然后求 \(2z(1-z)\) 就是当前位为 \(1\) 的概率了.

以下默认将值域改为 \([0,n]\).

然后就是最优决策部分. 这部分显然会尽量让高位异或值为 \(1\). 那么我们要让 \(y\) 的高位尽量都与 \(x\) 相反. 注意到当出现第一个 \(n\) 中为 \(1\)\(x\) 中为 \(1\) 的位之后, 后面的位就能够全部异或出 \(1\) 了(因为这时要想异或值最大需要让 \(y\) 的当前位置 \(0\), 那么后面的位无论如何取值都不会超过 \(n\) 的限制了), 我们称之为关键位. 于是我们枚举关键出现位置, 计算关键位为当前位置的所有 \(x\) 产生的贡献. 这时能够异或出的值即为 \(n\) 的高位加上低位全部置 \(1\) 的值.

但是这样还不够, 因为高位中还有三种可能情况: \(n\rightarrow1,x\rightarrow0;n\rightarrow0,x\rightarrow1;n\rightarrow0,x\rightarrow0\). 其中 \(n\rightarrow1,x\rightarrow0\)\(n\rightarrow0,x\rightarrow0\) 的情况产生的贡献已经在上面计算过了. 而 \(n\rightarrow0,x\rightarrow1\) 的情况还需要计算. 若关键位前 \(n\) 中有 \(k\)\(0\) 位, 那么每一位都会产生 \(2^{k-1}\) 次贡献. 这部分同样要计算进去.

算完转成期望再加权求个和就没了.

参考代码

#include <bits/stdc++.h>

namespace rvalue{
	typedef long long intEx;

	int main(){
		intEx n,mp=1;
		double p;
		scanf("%lld%lf",&n,&p);
		--n;
		while((mp<<1)<=n)
			mp<<=1;
		long double sum=0,unit=1;
		std::vector<intEx> z;
		intEx cur=0;
		for(intEx i=mp;i!=0;i>>=1){
			if(i&n){
				cur|=i;
				intEx wcnt=std::min(i|(i-1),n)-i+1;
				intEx xval=cur|(i-1);
				sum+=unit*xval*wcnt*(1ll<<z.size());
				for(auto x:z)
					sum+=unit*x*wcnt*(1ll<<(z.size()-1));
			}
			else{
				z.push_back(i);
			}
		}
		sum+=unit*cur*(1ll<<z.size());
		for(auto x:z)
			sum+=unit*x*(1ll<<(z.size()-1));
		sum/=n+1;
		cur=0;
		long double rd=0;
		for(intEx i=mp;i!=0;i>>=1){
			intEx cnt=cur*i+std::min((cur<<1)*i|(i-1),n)-(cur<<1)*i+1;
			long double z=1.*cnt/(n+1);
			rd+=z*(1-z)*2*i;
			cur=(cur<<1)|(i&n?1:0);
		}
		printf("%.10Lf\n",p*sum+(1-p)*rd);
		return 0;
	}
}

int main(){
	freopen("news.in","r",stdin);
	freopen("news.out","w",stdout);
	rvalue::main();
	return 0;
}

posted @ 2019-03-25 16:58  rvalue  阅读(213)  评论(0编辑  收藏  举报