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前置知识 二项式定理：\((a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\)。 二项式反演 反演公式1： \[f(n) = \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i) \iff g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n 阅读全文
posted @ 2024-01-20 13:42
rlc202204
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原理 前置知识：积性函数，狄利克雷卷积。 杜教筛可以在亚线性的时间内算出某些函数的前缀和。 假设我们要算出函数 \(f\) 的前缀和，我们要找到函数 \(g\)，记 \(f*g =h\)。 杜教筛的前提是 \(g\) 的前缀和与 \(h\) 的前缀和都可以快速计算，我们可以快速计算 \(f\) 的前 阅读全文
posted @ 2024-01-20 13:41
rlc202204
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前言： double counting 即算两次，可以对比两次结果得出一些有用的结论。 例1： 求证： \[\sum_{i=0}^ni \binom{n}{i}=n \times 2 ^{n-1} \]证明： 考虑计数问题：从 \(\{1,2,3,\dots n\}\) 中选取一个元素 \(a\) 阅读全文
posted @ 2024-01-20 13:41
rlc202204
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拉格朗日乘数法 对于多元函数 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)，有若 \(m\) 个约束条件形如：\(g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\)。 我们要求 \(f\) 在约束条件下的极值。 首先，对与一元情况，我们只要找到所有导数为 \(0\) 的点即可。 对于多元和约束 阅读全文
posted @ 2024-01-20 13:41
rlc202204
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