摘要：
重载运算符不会改变运算符的优先级，也无法改变运算符的运算对象数。 重载某个类的某个运算符就是写一个函数定义这个类中的这个运算符。声明函数：`qxz operator + (qxz b);`。这个函数可以是全局的，也可以是成员函数。如果是全局的，那么参数从左到右应该和运算符的运算对象相同；如果是成员函 阅读全文
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对称矩阵的谱分解 我们知道实对称矩阵是可对角化的，有 $$ S=Q \Lambda Q^\top $$ 其中$Q$是标准正交矩阵，$\Lambda$是由特征值构成的对角矩阵。设$Q=\begin{bmatrix}v_1 & \cdots & v_n\end{bmatrix}$，就有$S=\left[ 阅读全文
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用class qxz{ };定义一个类，其中private:以下的每一行都是私有成员，而public:以下的每一行都是公有成员（两者可以反复交叉出现多次）。私有成员只能被自己类中的成员函数访问，而公有成员可以被外部访问。 一般只把非常简单的成员函数在类定义中写出（这样写出的默认为内联函数），对于比较 阅读全文
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微分学的基本思想就是“丢掉高阶无穷小”。但是牛顿说过：“在数学中最微小的误差也不可忽略。”于是我们要问：“高阶无穷小为什么可以忽略？”为了说明“丢掉高阶无穷小”的确是可行的，必须建立严格的微分理论。 无穷小 首先我们需要严格刻画“无穷小”这个概念。无穷小显然不能通过“某个实数”这样静态地来刻画，它的 阅读全文
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从对偶空间看“矩阵的转置” 从向量空间的角度看“转置”似乎是一件神奇的事，无论从行向量还是从列向量的角度来看，转置的操作都拆散了原先的向量的结构。但转置前后的矩阵在性质上非常相近的。我们希望从线性映射的角度来理解转置。 对偶空间，对偶映射，线性泛函，对偶基的概念 我们知道一个线性映射$T:V \to 阅读全文
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定义与基本性质 可列个实数可以对应一个数列$x_n$，他们的和就是$x_1+x_2+\cdots$ 我们可以严格定义无穷（可列）多个数的和，这就是数项级数。类似反常积分的定义，我们也通过先求和再取极限的方式来定义。设前缀和$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k$，那么就可以把$\ 阅读全文
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反常积分 定义 Riemann积分的定义要求被积函数是有界的，同时要求积分区间是有限闭区间。而在实际应用中经常会遇到函数是无界的以及积分区间是无穷的情况。因此我们要把Riemann积分进行推广。我们将会看到这种推广是自然的，并且函数无界和积分区间无穷的情形本质上是一回事。 积分是在描述曲边梯形的面积 阅读全文
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线性映射 定义和性质 设我们有一个从线性空间$V$到线性空间$W$的映射$T$，即$\forall v \in V$有$T(v) \in W$。如果满足$T(v+w)=T(v)+T(w),T(cv)=cT(v)$对任意$v,w \in V,c \in \R$恒成立，就称$T$是一个$V$到$W$的线 阅读全文
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总论 爱是一门艺术。如果爱是一门艺术，那就要求人们有这方面的知识并付出努力。如同任何一门艺术一样，我们需要理论，需要实践，需要把成为大师看得高于一切，这一目标必须占据整个身心。 许多人没有意识到爱是一种需要被学会的能力。第一，大多数人认为爱首先是自己能否被人爱，而不是自己有没有能力爱的问题。他们所 阅读全文
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定义 想要求出曲线下“曲边梯形”的面积，我们采用的方法是竖着把面积切成一格格细条的长方形，用每个长方形来近似代替每一小块面积，最后再把所有长方形的面积之和加起来。 我们认为，只要我们的切分“足够细”，那么我们得到的面积就会“足够接近”曲边梯形的面积。这里，我们在讨论一个极限过程，而在我们没有到达极限 阅读全文
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观察上述过程我们发现，关键是我们把某个矩阵$A$“写成了”$X^{-1}\Lambda X$的形式，其中$\Lambda$代表一个对角矩阵。这个过程称为矩阵$A$的对角化。 阅读全文
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如何看待阅读经典与阅读其他一切不是经典的文本之间的关系？为什么读经典，而不是读那些使我们对自己的时代有更深了解的作品？当代世界也许是平庸和愚蠢的，但它永远是一个脉络，我们必须置身其中，才能够顾后或瞻前。大概最理想的办法，是把现在当做我们窗外的噪音来听，提醒我们外面的交通阻塞和天气变化，而我们则继续追随经典作品的话语，它明白而清晰地回响在我们的房间里。 阅读全文
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int *p;定义了指针变量p，这个变量储存了一个地址，地址内保存的变量是int类型的。&是取地址符，int *p = &x;就定义了一个指向整型变量x的指针变量。指向相同类型变量的指针之间可以相互赋值（不同类的不行，因为指向的地址长度可能不同）。在程序中，可以把*p看作x，例如*p = y+1;表 阅读全文
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近似算法不是“随机”算法，它是一个确定型的算法，并且对“近似的程度”有要求。例如在最大独立集问题中，当最大独立集大小为$K$时，如果有一个算法总能找到一个$\geq 0.5K$的解，那么就称这个算法为一个最大独立集问题的0.5-近似算法。 很多NP-hard问题没有多项式算法，但可以有多项式近似算法 阅读全文
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P118 在西方哲学史上，理性一直被传统地放在所有别的人类功能之上，现在，这种关于人类有限的概念却使理性的至上地位成问题了。诚然，理论知识实际上可以作为一种个人爱好予以追求，它的发现也可能会有些实际效用；但是，它之超越所有其他人类事业(如艺术和宗教)的价值，是不会因它自认为可以达到“绝对”而有所增益 阅读全文
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不定积分与“积分”并没有关系，它是微分学的一部分。因为“不定积分”只是基于导数定义出来的“求导的逆运算”。从某种意义上，它没有涉及任何新的理论，只是通过导数的运算法则推出的一些逆运算的运算技巧。 定义与记号 函数$f(x)$的不定积分是由它的所有原函数组成的函数族（集合）。定义 $\displays 阅读全文
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数列极限 我们可以用严格地数学语言描述当数列的下标越来越大时数列的值越来越逼近某个实数：如果成立$\exists A \in \R$，$\forall \varepsilon>0$，$\exists N$使得$\forall n>N$成立$|a_n-A|<\varepsilon$，则称数列$a_n$ 阅读全文
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微分中值定理 微分中值定理包括四个基本定理：Fermat定理、Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了具有某种性质的中间值，称为“中值”。虽然我们对中值缺乏定量的了解，但这并不影响我们对它的使用。 Fermat定理 Fermat定理指出： 阅读全文
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我们如何定义一个程序的运行时间？为了排除“不同计算机”的运行速度对时间的影响，我们将一个程序的运行时间定义为“一个固定计算模型上单位操作的次数”，这个固定的计算模型一般指图灵机。 程序的运行时间与输入规模有关，也与程序采用的算法有关。同样规模的输入，由于其数据可能具有不同的“性质”，也会导致程序运行 阅读全文
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尼采《悲剧的诞生》是一部特殊的哲学著作，它不是用概念推演出一个体系，而是用象征叙说自己的一种深层体验。他有分析和反思的逻辑能力，又受过音乐的洗礼拥有珍贵的艺术体验。在这本书中，尼采从古希腊酒神现象出发，把它当作理解希腊艺术的钥匙，从中提升出了一种诗性的哲学。对希腊艺术（悲剧）的探讨不仅是美学的讨论， 阅读全文
摘要：
连续函数 现在我们开始研究一个称为“连续”的概念。其实更本质的，我们是在研究当自变量发生微小变化的时候函数值如何变化。从某种意义上，连续的概念来自于几何直观——连续就是不间断。如果自变量的变化趋向0时，函数值的变化也趋向0，那么函数在这个点上就是“连续”的。 由此，我们可以严格定义连续性：函数在某点 阅读全文
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三条基本性质 两个向量可以描述平行四边形的面积，三个向量可以描述平行六面体的体积。再往高维推广，$n$个向量可以描述一个“$n$维平行多面体”的“体积”。我们将会看到，这样的“体积”拥有一些性质，我们能从这些性质中推出体积的表达式。对于$n$个$n$维向量，设它的体积为函数$D\left(a_{1} 阅读全文
摘要：
线性空间的基本性质以及推论 如果一个向量集合对加法数乘封闭，并且满足以下八条性质，那么就可以被称为是一个线性空间。狭义地来看，这里的“向量”都是$\mathbb{R}^n$空间中的。而广义地来看，只要我们对“元素”定义出“加法与数乘”，并且满足以下八条性质，任意这样的集合都可以看作是线性空间。 $\ 阅读全文
摘要：
正交性 向量、子空间的正交 对于向量$v,w \in \mathbb{R}^n$，设$v=(x_1,\cdots,x_n),w=(y_1,\cdots,y_n)$，定义他们的内积$v \cdot w=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i$。 如果有$v,w$的内积为0（$v \cd 阅读全文
摘要：
矩阵的加法与数乘 对于两个大小相同的矩阵，我们定义加法：由对应元素相加得到的一个新矩阵。对于一个矩阵，我们定义数乘：每个元素都乘上一个常数$c$得到的一个新矩阵。容易验证矩阵的加法和数乘满足下列运算性质： $A+B=B+A$ （加法交换律） $c(A+B)=cA+cB$（数乘分配律） $A+(B+C 阅读全文