动物园

[NOI2014] 动物园

题目描述

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解 KMP 算法。

园长：“对于一个字符串 \(S\)，它的长度为 \(L\)。我们可以在 \(O(L)\) 的时间内，求出一个名为 \(\mathrm{next}\) 的数组。有谁预习了 \(\mathrm{next}\) 数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作 \(\mathrm{next}[i]\)。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例 \(S\) 为 \(\verb!abcababc!\)，则 \(\mathrm{next}[5]=2\)。因为\(S\)的前\(5\)个字符为 \(\verb!abcab!\)，\(\verb!ab!\) 既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出 \(\mathrm{next}[1] = \mathrm{next}[2] = \mathrm{next}[3] = 0\)，\(\mathrm{next}[4] = \mathrm{next}[6] = 1\)，\(\mathrm{next}[7] = 2\)，\(\mathrm{next}[8] = 3\)。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在 \(O(L)\) 的时间内求出 \(\mathrm{next}\) 数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP 算法只能求出 \(\mathrm{next}\) 数组。我现在希望求出一个更强大 \(\mathrm{num}\) 数组一一对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作 \(\mathrm{num}[i]\)。例如 \(S\) 为 \(\verb!aaaaa!\)，则 \(\mathrm{num}[4] = 2\)。这是因为\(S\)的前 \(4\) 个字符为 \(\verb!aaaa!\)，其中 \(\verb!a!\) 和 \(\verb!aa!\) 都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而 \(\verb!aaa!\) 虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，\(\mathrm{num}[1] = 0,\mathrm{num}[2] = \mathrm{num}[3] = 1,\mathrm{num}[5] = 2\)。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出\(\mathrm{num}\)数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出 \(\mathrm{num}[i]\) 分别是多少，你只需要输出所有 \((\mathrm{num}[i]+1)\) 的乘积，对 \(10^9 + 7\) 取模的结果即可。

输入格式

第 \(1\) 行仅包含一个正整数 \(n\)，表示测试数据的组数。
随后 \(n\) 行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串 \(S\)，\(S\) 的定义详见题目描述。数据保证 \(S\) 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

输出格式

包含 \(n\) 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 \(10^9+7\) 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

样例 #1

样例输入 #1

3
aaaaa
ab
abcababc

样例输出 #1

36
1
32

提示

测试点编号	约定
1	\(n \le 5, L \le 50\)
2	\(n \le 5, L \le 200\)
3	\(n \le 5, L \le 200\)
4	\(n \le 5, L \le 10,000\)
5	\(n \le 5, L \le 10,000\)
6	\(n \le 5, L \le 100,000\)
7	\(n \le 5, L \le 200,000\)
8	\(n \le 5, L \le 500,000\)
9	\(n \le 5, L \le 1,000,000\)
10	\(n \le 5, L \le 1,000,000\)

题解

题意

给一个字符串 \(S\) ，分别找出 \(S[0...len-1]\) 的前缀函数并计算其乘积。

解析

和求前缀函数的板子差不多，我们先照常求出最长前缀函数，也就是 \(\pi\) ，

可以利用递推的思想，\(ans[i+1]=ans[\pi[j]]+1\) ，加的 \(1\) 就是现在找到最大的那个。（\(i+1\) 对应长度）

然后用类似的方法求出第一个满足条件的长度。但这两个类似的循环其实不同。因为 \(j\) 每次会继承上一次的值，

而这个值是不同的，KMP中就是 \(\pi[i-1]\), 但是我们求长度小于 \(\lfloor \frac{i}{2} \rfloor\)$ 的 \(j\) 小于等于 \(\pi[i-1]\)，

输出答案时只需要找到第一个 \(\le \lfloor \frac{i}{2} \rfloor\) 就行啦！

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000006,mod = 1e9+7;
int t,n;
string s;
int p[N],a[N];
long long get()
{
	long long res=1; a[1]=1;//注意初始化
	for(int i=1,j=0;i<n;i++)
	{
		while(j&&s[i]!=s[j]) j=p[j-1];
		p[i]= (j+=(s[i]==s[j]));//注意j++
		a[i+1]=a[j]+1;//a的下标为长度
	}
	for(int i=1,j=0;i<n;i++)//j每次会继承上一次的值，并不是p[i-1]
	{
		while(j&&s[i]!=s[j]) j=p[j-1];
		j+=(s[i]==s[j]);
		while((j<<1)>(i+1)) j=p[j-1];//这里if也可以
		res=(res*(a[j]+1))%mod;
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		cin>>s;
		n=s.length();
		printf("%lld\n",get());
	}
	return 0;
}

注意

1. 注意状态之间可以转移。

2. KMP下标和长度对应。