数据结构 Trick 之：分割问题的基于随机数的做法

能够解决的题目

给定一些集合。
有两个操作，分别是把一个集合分成两个；在线查询两个元素是否在一个集合。

思路

1. 初始设全部权值为 \(0\)。
2. 分割时，将分割后的一个集合全部将权值加 \(rand\)。
3. 查询时只需看两点的权值是否相同。

证明：将分割后的一个集合全部将权值加 \(rand\) 时，两个集合之间两两点的权值就都不相等了，而两个集合内部的相等点还相等，符合分割操作的要求。

正确率：
设分割有 \(m\) 次，查询有 \(q\) 次。
每次查询时，两个数都被加了 \(O(m)\) 个随机数，设 \(p\) 为两个 \(O(m)\) 个随机数的和相等的概率，所以正确率就是 \((1 - p) ^ q\)。
这个 \(p\) 为随机数值域的倒数，在值域为 \(10^18\) 时，已经有 \(1 - 10^{-9}\) 的正确率，所以随机数用 long long 即可。
要是实在担心，那就随机浮点数（可能常数大）。

例题

F - Adding Chords

线段树区间加过于简单，不放代码了。