Dijkstra求解单源最短路径

Dijkstra（迪杰斯特拉）单源最短路径算法

Dijkstra思想

Dijkstra是一种求单源最短路径的算法。

Dijkstra仅仅适用于非负权图，但是时间复杂度十分优秀。

Dijkstra算法主要思想是：

主要思想是，将结点分成两个集合：已确定最短路长度的，未确定的。

一开始第一个集合里只有节点V。

然后重复这些操作：

1.对那些刚刚被加入第一个集合的结点的所有出边执行松弛操作。

2.从第二个集合中，选取一个最短路长度最小的结点，移到第一个集合中。

用暴力算法的时间复杂度是Ο(n²+m) = Ο(n²)。

用小根堆优化的时间复杂度是Ο(m log n)。

还有一些复杂的实现Dijkstra算法，比如说：priority_queue(时间复杂度：Ο(m log m))

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ZKW线段树(时间复杂度：O(m log n + n) = Ο(m log n))

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 fibonacci堆(时间复杂度：Ο(n log n + m))

感兴趣的OIer想具体了解这几种方法，可以上网查一查，这里不多赘述。

Dijkstra暴力法例题

Dijkstra小根堆优化例题

Dijkstra暴力法代码

 

// by kyrence
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int S = 3e3 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int adj[S][S], dist[S], n, m;
bool vis[S];

void dijkstra() {
    memset(dist, INF, sizeof(dist));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    dist[1] = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++) //找到未标记的节点中dist最小的节点对其它节点进行更新 
            if (!vis[j] && (!x || dist[j] < dist[x]))
                x = j;
        vis[x] = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) //更新其它节点的最短路 
            dist[j] = min(dist[j], dist[x] + adj[x][j]); 
    }
}

int main() {
    memset(adj, INF, sizeof(adj)); //构建邻接矩阵 
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) adj[i][i] = 0; //节点V到节点V的距离为0 
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        adj[x][y] = z;             //有向图
        //adj[x][y] = adj[y][x] = z; 无向图
    }
    dijkstra(); //dijkstra暴力法求解单源最短路径
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d\n", (dist[i] == INF ? -1 : dist[i])); //-1代表节点1到节点i没有路径 
    return 0;
}

 

Dijkstra小根堆优化代码

// by kyrence
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = 1e6 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int head[N], ver[M], edge[M], Next[M], dist[N]; //构建邻接表 
int n, m, tot;
bool vis[N];
priority_queue<pair<int, int> > q; //小根堆第一项取负，使小根堆变成大根堆
//在不使用小顶优先队列情况下取负将小根堆变成大根堆加速优先队列，常见的加速技巧 

void add(int x, int y, int data) { //邻接表存储图 
    ver[++tot] = y;
    edge[tot] = data;
    Next[tot] = head[x];
    head[x] = tot;
}

void dijkstra() {
    memset(dist, INF, sizeof(dist));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    dist[1] = 0; q.push(make_pair(0, 1));
    while (!q.empty()) {
        int u = q.top().second; q.pop(); //找到未访问节点中dist最小的节点 
        if (vis[u]) continue; //如果节点u已经访问则忽略 
        vis[u] = 1;
        for (int i = head[u]; i; i = Next[i]) { //邻接表访问出边 
            int y = ver[i], z = edge[i];
            if (dist[y] > dist[u] + z) {
                dist[y] = dist[u] + z; //更新节点 
                q.push(make_pair(-dist[y], y)); //取负值，加速小根堆 
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        add(x, y, z);               //无向图
        //add(x, y, z); add(y, x, z); 有向图 
    }
    dijkstra(); //dijkstra小根堆优化求解单源最短路径 
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d\n", (dist[i] == INF ? -1 : dist[i])); //-1代表节点1到节点i没有路径 
    return 0;
}

力荐使用小根堆优化，代码简洁直观易懂，空间小，时间复杂度优。