微分概念

数学（1）

数学第一天

微分的概念

\[\Delta y = A \Delta x + \omicron(\Delta x) \]

\[其中A\Delta x叫 线性主部 \]

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\[dy = A\cdot \Delta x \]

导数和可微的关系

\[若可微\qquad \frac{\Delta y}{\Delta x} = A+\frac{\omicron(\Delta x)}{\Delta x} \]

\[\Rightarrow \quad A+\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\omicron (\Delta x)}{\Delta x} = f'(x) \]

可以看出可微可导

\[dy=f'(x)\Delta x \]

\[因为\quad 1\times\Delta x +0\qquad 故 \Delta x = dx \]

\[从而 \quad dy=f'(x)dx \Rightarrow \frac{dy}{dx}=f'(x) \]

导数就是微商，两个微分的商

\[若可导\quad \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A \qquad (当\Delta x \rightarrow0 时,\alpha \rightarrow 0) \]

\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\alpha \]

\[\Rightarrow \Delta y =A \cdot \Delta x + \omicron (\Delta x) \qquad \qquad \]

\[因为\qquad \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\alpha \cdot \Delta x}{\Delta x}=0 \qquad 故\alpha \cdot \Delta x = \omicron (\Delta x) \]

\[\Rightarrow \Delta y=A \cdot\Delta x + \omicron(\Delta x) \qquad 可微定义 \]

可以得出可微可导是充要条件