exgcd

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欧几里得

定义: \(gcd(a,b)\)为整数 \(a\)与\(b\) 的最大公约数

引理：\(gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)\)

证明：

　　　　设$ r=a \bmod b , c=gcd(a,b) $

　　　　则$ a=xc , b=yc $, 其中x , y互质

　　　　\(r=a \bmod b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c​\)

　　　　而\(b=yc\)

　　　　可知：$y $与 $x-py $互质

证明：

​ 　　假设 \(y\) 与$ x-py $不互质

​ 　　设 $y=nk , x-py=mk $, 且 $k>1 $（因为互质）

​ 　　 将 y 带入可得

​ 　　\(x-pnk=mk\)

​ 　　\(x=(pn+m)k\)

​ 　　 则$ a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc$

​ 　　那么此时 \(a\) 与$ b $的最大公约数为 $kc $不为 \(k\)

​ 　　与原命题矛盾，则 \(y\) 与$ x-py $互质

　　　　因为 \(y\) 与 \(x-py\) 互质，所以 \(r\) 与 \(b\) 的最大公约数为 \(c\)

　　　　即 \(gcd(b,r)=c=gcd(a,b)\)

　　　　得证

　　当\(a \bmod b=0\)时，\(gcd(a,b)=b\)

　　这样我们可以写成递归形式

实现：

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

扩展欧几里得

引理：存在 \(x , y\) 使得\(gcd(a,b)=ax+by\)

证明：

当 \(b=0\) 时，\(gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0\)
当 \(b \neq 0\) 时，设

\(ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)=b{x}'+(a \bmod b){y}'\)

\(\because a \bmod b = a-a/b*b\)

\(\therefore ax+by=b{x}'+(a-a/b*b){y}'\)

\(\therefore ax+by=b{x}'+a{y}'-b*a/b*{y}'\)

\(\therefore ax+by=a{y}'+b{x}'-b*a/b*{y}'\)

\(\therefore ax+by=a{y}'+b({x}'-a/b*{y}')​\)

\(解得 x={y}' , y={x}'-a/b*{y}'\)

当\(b=0\) 时存在 x , y 为最后一组解

实现：

递归进入下一层，当$ b=0 \(时就返回\)x=1,y=0$

再根据\(x={y}' , y={x}'-a/b*{y}'\)得出当前所在层的解

回到第一层的时候得到答案。

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){x=1,y=0;return a;}
    int r=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}