递推——错排公式

定义：

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

推导过程：

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

1. 把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

2. 放编号为k的元素，这时有两种情况：

   ⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种    
   方法；
   ⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；
   

公式：

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

代码实现：

#include <stdio.h>
long long mod = 1e9+9;
int main(){

    long long num;
    scanf("%lld",&num);

    long long arr[10000009];
    arr[0] = 0;
    arr[1] = 0;
    arr[2] = 1;
    for(long long i = 3; i <=num; i++ ){
        arr[i] = ((arr[i-1]+arr[i-2])%mod)*(i-1)%mod;    //关键公式
    }
    printf("%lld",arr[num]);

}