算法导论-概率分析和随机算法习题解
2012-05-04 11:54 meteorgan 阅读(2342) 评论(1) 编辑 收藏 举报5.1-3 假设你希望以各1/2的概率输出0和1。你可以自由使用一个输出0或1的过程BIASED-RANDOM。它以概率p输出1，以概率1-p输出0，其中0 < p < 1，但是你并不知道p的值。给出一个利用BIASED-RANDOM作为子程序的算法，返回一个无偏向的结果，即以概率1/2返回0，以概率1/2返回1。作为p的函数，你的算法的期望运行时间是多少？
解：代码：
1 while true: 2 x = BIASED-RANDOM() 3 y = BIASED-RANDOM() 4 if x != y: 5 return x
x != y 存在两种情况，x= 1, y = 0; x = 0, y = 1。这两种情况的概率相等，均为p(1-p)，所以输出1和0的概率都是1/2。算法一次运行成功的概率为2p(1-p)，且服从几何分布，期望是1/[2p(1-p)]。
5.2-2 在HIRE-ASSISTANT中，假设应聘者以随机的顺序出现，正好雇用两次的概率是多少？
解： 两个事实：1. 第一位总是雇用； 2. 最好的总是雇用。 若要雇用两次，则第一位不能是最好的应聘者，且最好的应聘者应出现在比第一位应聘者要好的所有应聘者之前。即若第一位应聘者排名为i(i < n)，则最好的应聘者n 应排在i+1, i+2, ... i+n-1之前。第一位应聘者的排名为i的概率为1/n，n排在i+1, i+2, ... i+n-1之前的概率是1/(n-i)。i 的取值为1 -> n-1，所以正好雇用两次的概率是Σn-1i=1 1/[i(n-i)] = 1/n * Hn-1。
5.3-5 证明程序PERMUTE-BY-SORTING的数组P中，所有元素都唯一的概率至少为1 - 1/n。
解： 元素P[i] 唯一的概率为 [n3-(i-1)]/n3 。所以所有元素都唯一的概率为：
5.4-6 假设将n个球投入n个盒子里，每次投球都是独立的，并且每个球落入任何盒子的机会都相等。空盒子的期望数量是多少？正好有一个球的盒子的期望数量又是多少？
解： 设空盒子的数量为X，正好有一个球的盒子的数量为Y。则有：
5-1 概率计数
解： a) 对j = 1, 2, 3, ……n，设Xj 表示第j次INCREMENT的增量，Vn 表示n次INCREMENT后计数器表示的值，则有Vn = X1 + X2 + ……Xn。所以有：
设Cj 表示第j次INCREMENT开始时计数器的值，则有：
Cj = i 时，Xj 有两种取值： 0， 概率为1 - 1/(ni+1 - ni)；ni+1 - ni, 概率为1/(ni+1-ni)，所以:
又:
所以Xj的期望为1，Vn的期望为n。
b) ni+1 - ni = 100，Xj 相互独立，所以有：
又：
所以方差为99n。
