第三次作业

一、“数字三角形”动态规划实践报告

1.1 递归方程式、定义及边界条件
问题描述：数字三角形由多行数字组成，从顶部出发，每次可向下或右下走，求路径上数字和的最大值。
状态定义：设dp[i][j]表示从第i行第j列的位置出发，到达底部的最大数字和。
递归方程式：
dp[i][j] = text{triangle}[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
解释：当前位置的最大和等于自身数字加上“下一行相邻两个位置的最大和的较大值”。
边界条件：当i为最后一行时，dp[i][j] = \text{triangle}[i][j]（底部元素的最大和就是自身）。

1.2 填表分析
表的维度：二维表格，维度为“三角形的行数 × 每行的列数”（若三角形有n行，则维度为n × n，实际有效列数为每行的长度）。
填表范围：从第n-1行（倒数第二行）开始，向上填充至第0行（第一行）；每行的列数从0到当前行的列数减1。
填表顺序：逆序（从下往上，每行从左到右）。因为dp[i][j]依赖于dp[i+1][j]和dp[i+1][j+1]，所以必须先计算下一行的状态，再计算当前行。
原问题的最优值：dp[0][0]（从顶部第0行第0列出发，到达底部的最大和）。

1.3 时间和空间复杂度
时间复杂度：设三角形有n行，每个位置需要计算一次状态转移，总共有1 + 2 + 3 + dots + n = frac{n(n+1)}{2} 个位置，因此时间复杂度为O(n^2) 。
空间复杂度：
若使用二维数组存储所有状态，空间复杂度为O(n^2) 。
优化后（利用滚动数组，仅保存下一行的状态），空间复杂度可降为O(n) 。

二、对动态规划算法的理解和体会
动态规划是一种通过“分解子问题、存储子问题结果、利用子问题结果推导原问题”的算法思想，核心在于识别最优子结构和重叠子问题。

最优子结构：原问题的最优解由子问题的最优解决定（如“数字三角形”中，当前位置的最大和由下一行相邻位置的最大和决定）。这要求我们能将原问题拆解为规模更小的同类子问题。
重叠子问题：不同的原问题可能共享相同的子问题（如递归求解时会重复计算某些子状态），因此需要用表格（数组）存储子问题的结果，避免重复计算，这是动态规划效率的关键。

动态规划的解题步骤通常为：定义状态→推导状态转移方程→确定边界条件→确定填表顺序→计算并输出结果。它适用于很多最优化问题，如最短路径、背包问题等，能将指数级复杂度的递归问题优化为多项式级复杂度的迭代问题，是算法设计中“以空间换时间”的典型体现。

在实践中，动态规划的难点在于状态定义和转移方程的推导，需要对问题有深入的理解；而优化空间复杂度则是进阶方向，能进一步提升算法的效率。