布朗运动（转载）

漫谈布朗运动

李育嘉
 

 

 

 

一、布朗运动简史

西元1827年，英国植物学家劳伯‧布朗(Robert Brown) 利用一般的显微镜观察悬浮于水中的花粉粒时，发现这些花粉粒会做连续快速而不规则的随机移动， 这种移动称为布朗运动(Brownian motion)。接着生物学家发现悬浮于液体或空气中直径小于0.04 公分的粒子都会产生布朗运动。譬如，当阳光射进暗室时，我们很容易从光束中观察到灰尘粒子在空气中产生布朗运动的现象。

事实上布朗并非第一个发现布朗运动者。布朗在提到1819年Bywater 发表的一篇文章时曾说：「不但是有机物质， 无机物质也包含他（指Bywater）所谓活泼的或激应性的粒子」。由此我们还察觉到，十九世纪初生物学家还以为布朗运动的发生是由于粒子本身是「活的」的缘故。直到1917年这种粒子的「生机说」才被D'Arcy Thompson 所推翻。Thompson 认为布朗运动之所以会发生是因为粒子与液体或气体分子连续互相碰撞的结果。

自1860年以来，许多科学家都在研究此种现象。经由谨慎的实验及讨论， 科学家发现布朗运动有下列主要特性：

 

一、
粒子的运动由平移及及转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
二、
粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
三、
粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼。
四、
粒子的成分及密度对其运动没有影响。
五、
粒子的运动永不停止。

其中，关于第一点，数学上的确存在处处连续而处处不可微分的函数。例如$f(x) = \sum^{\in​​fty}_{n=1} 2^{-n}\cos(2^nt)$（Weierstrass函数）便是。事实上，从布朗运动的数学定义（见第三节定义一），我们可证明几乎每一布朗运动的轨迹皆处处不可微分（因此也就没有切线）。第二点曾被布朗所提及。第五点则是由观察一个样本二十年及观察一个千年石英矿中之液体所得到的结论。

二十世纪初，爱因斯坦(Einstein) 及史莫卢可夫斯基(Smoluchovski) 发现不管粒子的运动有多么不规则，布朗运动仍可以用机率律来分析，其研究说明了粒子在一段时间内之位移是根据常态分配的。爱因斯坦的工作可说是布朗运动的动力论的先驱。今将其结果（发表于1906年）概述于下：

令 $\rho=\rho(x,t)$是一个布朗运动粒子在时间t及位置x时之机率密度( $x\in\mathbf{R}^3$)。然后在某些机率假设下，爱因斯坦导出 

 

\begin{displaymath} \frac{\partial \rho}{\partial t}=D\triangle\rho, \end{displaymath}

 

这里D表一正常数，称之为扩散系数(Diffusion coefficient)。假若粒子在t =0之位置为x =0，则 

 

\begin{displaymath} \rho(x,t)=\left(\frac1{\sqrt{4\pi Dt}}\right)^3e^{-\frac{\vert x\vert^2}{4Dt} } \end{displaymath}

 

1923年，诺伯特‧卫纳(Norbert Wiener) 首先把布朗运动当作一种随机过程(Stochastic Process) 来研究。因此，布朗运动也叫做卫纳过程(Wiener Process)。接着卫纳之后有Bachelier 的启发性的工作。不久，Paul Levy 及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程(Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。在本文之中我们将首先探讨随机漫步(Random walk) 之基本性质，然后利用一组随机漫步的极限来导出布朗运动的数学模式。读者若对本文中之名词有不明之处请参见参考资料[6]

　　　　　　

二、随机漫步

假想一个粒子在水平直线上一步步的左右移动而且每步的距离皆为一个单位长；其向右及向左的机率各为p与q =1- p ( 0< p < q )。此外，我们假设每一单位时间只移动一步而且第n步在第n个瞬间独立做动作。若视直线为R 1而视一个单位长为1（向右一步以+1表示，向左一步以-1表示），则此粒子在R 1上之可能位置为整数，其数学模式描述如下：

设X n为粒子第n步的位移，则{ X n : $n\in\mathbf{N}$}为一族取值{ +1,-1 }的独立随机数，而且对任一整数$n\geq1$， 

 

\begin{displaymath} \begin{array}{l} P\{X_n=1\}=p\\ P\{X_n=-1\}=q \end{array}\end{displaymath}

 

 

若以W 0表粒子之原始位置，则在时间n时粒子的位置为 

 

\begin{displaymath} W_n=W_0+X_1+X_2+\cdots+X_n \end{displaymath}

 

 

此一序列的随机变数{ W n : $n=0,1,2,\cdots$}便叫做随机漫步。{ W n }所在的样本空间Ω可取为 

 

\begin{displaymath} \Omega=\{\omega:\omega=(\omega_0,\omega_1,\omega_2,\cdots),\omega_i\in\mathbf{Z}\}, \end{displaymath}

 

 

然后定义 $W_n(\omega)=\omega_n$。当 $p=q=\frac{1}{2}$时，我们称{W n }为随机漫步。以下我们概述随机漫步的几个基本性质。

令P r n ( i , j ) = P {W n + r = j |W n = i } , P n ( i , j ) = P 1 n ( i , j ) , p ij = P 0 ( i , j ), p r ij = P r 0 ( i , j )。显然，当i = j时p 0 ij =1，否则p 0 ij =0。

 

定理一：
  1. $0\leq P^r_n(i,j)\leq1$，而且 $\sum_{j\in Z}P^r_n(i,j)$=1
  2. $P\{W_{n+r}=j\vert W_0=i_0,W_1=i_1,\cdots,W_n=i_n\}$ 
    = $P\{W_{n+r}=j\vert W_n=i_n\}=P^r_n(i_n,j),\forall r\geq1$。
  3. P r n ( i , j ) = P r 0 ( i , j ) = p r ij , $\forall n\geq0$，特别地， 

     

    \begin{displaymath} P\{W_{n+r}=j\vert W_n=i\}=p_{ij}= \left\{ \begin{array}{l} ... ...\fontseries{ m}\selectfont \char 231}} j=i. \end{array}\right. \end{displaymath}

     

  4. 设，则{ W n k - W n k -1 ,…, W n 2 - W n 1 }为独立随机变数$0 \leq n_1<n_2<n_3< \cdots < n_k$

定理一之(1)显然成立。(2)说明了当「现在」（指时间n）之位置为已知时，则「过去」（指小于n之时间）与「未来」（指时间n + r）无关。此性质称为马可夫性质 (Markov Property)。因此随机漫步为一马可夫过程。性质(3)表示粒子之位置从i转移至j的机率与原位置之时间无关，此性质叫时间齐一性(time-homogeneous)。 p ij叫做随机漫步的转移机率(transition probability)。(4)的性质是因{X n }为独立随机变数之故；由于该性质我们{W n }具有独立增量(independent increments)。

 

系一：
令P =( p ij )为p ij所成之矩阵。P称为转移矩阵或转移函数。则 

 

\begin{displaymath} P= \left[ \begin{array}{ccccccccc} \ddots & & & & & & & & \... ...q & 0 & \\ \bf {0} & & & & & & & & \ddots \end{array}\right] \end{displaymath}

 

此外，p n ij = P n ( i , j )。

令 $A\subseteq\mathbf{Z}$。定义 。f A ( i )表示{W n }从A中之点i出发一直留在A中之机率。$f_A(i) = P\{W_k\i​​n A,\forall k\geq1\vert W_0=i\}$ $(i\in A)$

 

定理二：
若A只包含有限个整数，则f A ( i )=0 , $\forall i\in A$。

 

证明：
我们只证明 $A=\{m,m+1,\cdots,m+M \}$的情形就足够了。令Q为由矩阵P去掉不在A中之行列后所形成的矩阵，显然， 

 

\begin{displaymath} Q= \left( \begin{array}{cccccc} 0 & p & & & & \\ q & 0 & ... ... & & & & \ddots & p \\ & & & & q & 0 \\ \end{array}\right) \end{displaymath}

 

对$i,j\in A$， 

 

\begin{displaymath} Q^n(i,j)=P\{W_1\in A,W_2\in A,\cdots\cdots,W_n=j\vert W_0=i\} \eqno{(2.1)} \ end{displaymath}

 

令 $f_n(i) = \sum^{m+M}_{j=m}Q^n(i,j)$。由(2.1)得知 

 

\begin{displaymath} f_n(i)=P\{W_k\i​​n A,\forall k=1,2,\cdots\cdots,n\vert W_0=i\} \end{displaymath}

 

而且 $0\leq f_n(i)\leq f_{n+1}(i)\leq 1$, $\forall n\geq 1$，故 $\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(i)$存在且其值恰为fA ( i )。又由于 Q n +1 = QQ n，我们有 

 

\begin{displaymath} f_{n+1}(i)=\sum^{m+M}_{j=m}Q(i,j)f_n(j). \eqno{(2.2)} \end{ displaymath}

 

在(2.2)中，令 $n\rightarrow\infty$得 

 

\begin{displaymath} f_A(i)=\sum^{m+M}_{j=m}Q(i,j)f_A(j). \eqno{(2.3)} \end{displaymath}

 

设 x i = f A ( m + i ) , i =0,1,2 , $\cdots\cdots$, M，由(2.3)，( x i )满足以下联立方程组 

 

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x_0=px_1\\ x_1=qx_0+px_2\\ \... ...-2}+px_M\\ x_M=qx_{M-1 }\\ \end{array} \right. \eqno{(2.4)} \end{displaymath}

 

由(2.4)前M个方程式解得 

 

\begin{displaymath} x_i=(1+\frac{q}{p}+\cdots\cdots+\frac{q}{p}^i)x_0,i=0,\cdots\cdots,M \eqno{( 2.5)} \end{displaymath}

 

特别地， 

 

\begin{displaymath} x_M=(1+\frac{q}{p}+\cdots\cdots+\frac{q}{p}^M)x_0 \eqno{(2.6)} \end{displaymath}

 

但是由(2.4)最后的等式，我们又得到 

 

\begin{displaymath} x_M=q(1+\frac{q}{p}+\cdots\cdots+\frac{q}{p}^M)x_0. \eqno{(2.7)} \end{displaymath}

 

比较(2.6)与(2.7)得x 0 =0，故由(2.5)得x i =0 , $\forall i=1,2$,…, M。所以f A (i )=0 , $\forall i\in A$。

定理二说明了作随机漫步的粒子非常「不安于位」，此性质与布朗运动粒子相似（见定理四之(3)）。

以下我们只讨论{W n }为对称的情形，而且我们让所有的随机漫步皆从原点开始，也就是说W 0 =0。

 

定理三：
E [ W n + k |W n = i ] = $i(k\in\mathbf{N})$。

 

证明：

 

\begin{eqnarray*} & &\mbox{E}[W_{n+k}\vert W_n=i]\\ &=&\sum_{j\in Z}jP\{W_{n+k}.. . ...s{m}\selectfont \char 209}E}[X_j]=pq=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0) \end{eqnarray*}

 

定理三说明了当粒子进行随机漫步中，某甲在时间n时开始观察，刚经过k时间后，粒子的预期位置为某甲开始观察的位置W n。当i任意变动时，定理三可改写为E [ Wn + k |W n ]= W n。若我们把W n看作某赌徒在时间n时身上所有金钱总数，则照定理三的意思，该赌徒在时间n时带着i元进入赌场参与赌博，而k时间后，该赌徒应是不输也不赢的带着i元离去。因此，定理三之性质又称平赌性质(martingale property) （martingale是法国民间一种公平的对局）。下一节我们将发现布朗运动也是一种平赌过程，从随机漫步的轨迹来看，我们可视随机漫步为布朗运动离散化之情形，它的确可帮助我们了解布朗运动。

三、布朗运动的数学模式

首先我们建立R 1上的布朗运动，我们的作法简单地说是利用对称随机漫步，缩小其每一步长度而在单位时间内加速其移动频率来模拟布朗运动。

假想一个粒子在座标轴上原点为起始点作对称随机漫步，每一步位移为δ而每单位时间内移动次数为r次，则此粒子在时间t时之位置为 $Z_t=\delta W_n$，其中{W n }是第二节所谈的对称随机漫步而且W 0 =0。由{W n }之性质知 

 

\begin{displaymath} \begin{eqalign} & \mbox{E}[Z_t] = (pq)\delta n=(\frac{1}{2}... ...\\ & \mbox{Var} (Z_t) = 4pq\delta^2n = \delta^2rt \end{eqalign}\end{displaymath}

 

 

令 $\delta\rightarrow0$, $r\rightarrow\infty$，使得$\delta^2r$逼近一定数D（譬如，取 $\delta = Dr^{-\frac1{2}}$），由中央极限定理(Central Limit Theorem)，我们得到 

 

\begin{eqnarray*} P\{Z_t<\beta\}&=&P\{\delta W_n<\beta\}\\ &\sim&\frac{1}{\delt... ...ta\sqrt {2\pi Dt}}\int^{\beta}_{-\infty}e^{-\frac{x^2}{2Dt}}dx\\ \end{eqnarray*}

 


为求简化起见，我们设D =1。令B t为Z t之极限随机变数，则 $\{B_t:,t\geq0\}$便叫做布朗运动或卫纳过程。由以上之讨论，我们严格地定义布朗运动如下：

 

定义一：
令 $\{B(t):,t\geq0\}$为一随机过程且满足以下三个条件：

 

  1. B (0)=0
  2. 设 $0\leq s_1<s_2<\cdots<s_{n+1}<\infty$，则 {B( s j +1 )- B ( s j ) : $0\leq j\leq n\}$为独立随机变数族。
  3. 对每一$s\geq0$, $t\geq0$, B ( t + s )- B ( s )有常态分配N (0, t )，换句话说 

     

    \begin{displaymath} P\{B(t+s)-B(s)<\beta\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int^{\beta}_{- \infty}e^{-\frac{x^2}{2t}}dx \end{displaymath}

     

其中(1)与(2)皆是继承{Z t }之性质而来，(3)也表示布朗运动对时间有齐一性。合并(2)(3)之性质，我们称B ( t )有平稳独立增量(stationary independent increments)。对任意 $a\in\mathbf{R}^1$，{B( t )+ a }一般叫做以a为起点的布朗运动。 {B( t)}所在的样本空间可取Ω $=\{\omega(t):\omega \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 209... ...t minus0.1pt{\fontfamily{cwM0}\fontseries{ m}\selectfont \char 47}}\omega(0)=0\}$，然后定，（B t与B ( t )两个记号通用）。令I =[ a , b ]，定义 $B_t(\omega)=\omega(t)$

 

\begin{eqnarray*} p(s,x;t+s,I)&=&P\{B(t+s)\in I\vert B(s)=x\}\\ &=&\frac{ 1}{\sqrt{2\pi t}}\int^b_a e^{-\frac{1}{2t}(ux)^2}du \end{eqnarray*}

 


p ( s , x ; t + s , I )称为{B( t )}之转移函数。显然，p ( s , x ; t + s , I )与s无关，因此我们把p ( s , x ; t + s , I )改写为 p ( t ; x , I )= p ( s , x ; t + s , I )。其次若我们定 

 

\begin{displaymath} p_t(I)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int^b_a e^{-\frac{u^2}{2t}}du, \end{displaymath }


 

则显然，p ( t ; x , I ) = p i ( I - x )。再深入一点讨论，考虑一个单位时间内之布朗运动；其样本空间Ω可取为 。设, I i = [ a i , b i ]， 。令 ，然后定义 $\Omega = C[0,1]$$= \{x(t):x(t)\mbox{ {\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 202}}[0,1... ...s0.2pt mi​​nus0.1pt {\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47}}x(0)=0\}$ $0=s_0<s_1<s_2<\cdots<s_n<1$$i=1,2,\cdots,n$$E = \{x\in\Omega:x(s_1)\in I_1,\cdots,x(s_n)\in I_n\}$

 

\begin{eqnarray*} \lefteqn{ W(E)=P\{B(s_1)\in I_1,\cdots,B(s_n)\in I_n\} } \\ &... ...cdots +\ frac{(u_n-u_{n-1})^2}{s_n-s_{n-1}}]}\} du_1 \cdots du_n \end{eqnarray*}

 


W称为卫纳测度。卫纳利用W来研究布朗运动，也因此发展无穷维空间C [0,1]上的积分理论（参见[3]）。

定义一并未保证轨迹 $g(t) = B_t(\omega)$为连续，但可以证明存在一连续布朗运动$\{\tilde{B}(t)\}$使得对任何t >0， $P\{B(t)\neq\tilde{B}(t)\}=0$。

以下我们只考虑连续的布朗运动。

 

定理四：
  1. $P\{B(t+s)\vert B(u);u\leq t\}=P\{B(t+s)\vert B(t)\}$。
  2. E $[B(t+s)\vert B(u);u\leq t]=B(t)$。
  3. {B( t )}停留在任一有界集合之机率为零。
  4. 几乎所有B ( t )的轨迹皆是处处连续而处处不可微分。

定理四之(1)表示布朗运动为马可夫过程；(2)说明{B( t )}为平赌过程。以上二者皆可由定义一之(2)证明之。第(3)点与随机漫步之性质(定理二)相似。事实上，若C为一正数，则 $\lim_{t\rightarrow\infty}P\{\vert B(t)\vert\leq C\}=0$以性质包含(3)。第(4)点说明布朗运动与实际现象相符合，其证明则比较难(参见[2])。

 

例一：
E $[W(t)W(s)]=\min(t,s)$。

 

证明：
假设$t\geq s$，则 

 

\begin{eqnarray*} & &\mbox{E}[W(t)W(s)]\\ &=&\mbox{E}[(W(t)-W(s))W(s)+ W^2(s)]... ...}[W(t)-W(s)]\mbox{E}[W(s)]+\mbox{Var}[W(s)]\\ &=&0+s=\min(t,s) \end{eqnarray*}

 


同理，若$s\geq t$，则E [ W ( t ) W ( s )] = t = $\min(t,s)$。

 

例二：
E $[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(u);u\leq s]$= B ( s ) 2 - s。

 

证明：
利用{B( t )}马可夫性质，我们有 

 

\begin{displaymath} \begin{eqalign} \lefteqn{ \mbox{E}[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(u);... ...=\mbox{ E}[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(s)] \end{eqalign} \eqno{(3.2)} \end{displaymath}

 

另一方面 

 

\begin{eqnarray*} & &\mbox{E}[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(s)]\\ &=&\mbox{E}[(B(t +s)... ...\ &=&t+2B(s)\mbox{E}[B(t+s)-B(s)]-B(s)^2-(t+s)\ \ &=&B(s)^2-s \end{eqnarray*}

 

以上之计算中，我们​​利用以下两有条件期望值的等式：

(一)
E [ XY |X] = X E [ Y |X]，
(二)
E [ f ( X )|X] = F ( X )。

我们假设X取值于Z中时来验证(一)(二)：

(一)
E [ XY |X= j ]= E [ jY |X= j ]= j E [ Y |X= j ]。当j变化时上式变成E [ XY |X] =X E [ Y |X]。
(二)
E [ f ( X )|X= j ]= E [ f ( j )|X= j ] = f ( j ) E [1|X= j ] = f ( j )，故E [ f ( X )| X]= f ( X )。

例二说明当{B( t )}为布朗运动时，{B( t ) 2 - t }亦为平赌过程，反之亦然(定理五)。

 

定理五：
(Levy)随机过程 $\{B(t)\};t\geq 0$为布朗运动之充要条件为
(1)
{B( t )}为平赌过程。
(2)
{B( t ) 2 - t }为平赌过程。

Levy定理提供我们一个检查给定的随机过程B ( t )是否为布朗运动的方法：对任何时间$T\geq 0$，若T以后{B( t ) 2 }及{B( t ) 2 - t }之平均值分别为B ( T )及B ( T ) 2 - T时，则{B( t )}必是布朗运动。

布朗所观察到的布朗运动当然是三度空间的运动，但由观察显示粒子在各方向之移动是独立的，因此我们采用以下定义：

 

定义二：
设 B ( t ) = ( B 1 ( t ), B 2 ( t ), B 3 ( t ))为R 3上的随机过程。若{B i ( t )} , i=1,2,3三过程相互独立而且分别为R 1上的布朗运动时，我们称{B( t )}为R 3上之布朗运动。
四、结语

也许读者会问：「定义二是布朗所见的布朗运动吗？」。答案可能是否定的。至少，我们没有理由相信，因为在定义过程中我们可能已过分简化了真正布朗运动。依本人之见定义二是否为真正的布朗运动并不重要；重要的是定义二提供给科学与工程为建立随机模式的一个不可缺的基本工具。另一方面，定义二之布朗运动在随机过程的动力论（见[4]）中也扮演着一个重要的角色，也使随机过程之理论添加了新的生命（如随机积分与随机微分方程等）。这一切仍然要归功于布朗所给数学家的「动机」。数学本来就是靠科学的不断的给予「动机」而成长的！

 

1.W. Feller:《An Introduction to Probability Theory and Its Applications》 Vol.1(3rd edition), John Wiley and Sons, Inc. New York, NY 1968
2.A. Friedman:《Stochastic Differential Eqations and Applications》 Vol.1, Academic Press, New York, 1975
3.H.-H. Kno:《Gaussian Measure in Banach Spaces》LN.463, Springer-Verlag, 1975
4.E. Nilson:《Dynamical Theories of Brownian Motion》, Princeton Unversity Press, 1967
5.KL Chung:《Elementary Probability Theory with Stochastic Processes》, Springer-Verlag, 1974
6.《幼狮数学大辞典》, 幼狮文化事业公司, 1983
7.《Encyclopedia Intrnational》, Grolier, New York, 1974
posted @ 2013-01-21 17:51  busyfruit  阅读(2979)  评论(0)  编辑  收藏  举报