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博弈论：ICG 与有向图游戏 · SG 函数

博弈论：ICG 与有向图游戏 · SG 函数

1. 有向图游戏（Directed Graph Game）

定义：一个有向图游戏由一张有向图 \(G=(V,E)\) 描述：

  • 每个结点 \(x\in V\) 代表一个局面（position / state）；
  • 每条有向边 \((x,y)\in E\) 代表从局面 \(x\) 出发一步合法操作可以到达局面 \(y\)；
  • 游戏的进行，就是从某个起点结点开始，沿有向边一步步走。

终止规则（Normal Play）：轮到某玩家时，若当前结点没有出边（出度为 \(0\)），则该玩家无法行动，判负。

有限性：竞赛中的博弈必在有限步内结束，因此图 \(G\) 无环（即 \(G\) 是有向无环图，DAG）。无环保证可以从"终点"逆推，对每个结点赋予确定的胜负属性。

感性理解：任何一个"两人轮流走、走不动就输"的游戏，都能画成一张 DAG——这正是博弈论可计算的根本原因。

2. ICG 是有向图游戏的公平特例

一个游戏被称为公平组合游戏（Impartial Combinatorial Game, ICG），须同时满足：

  1. 两人轮替行动；
  2. 信息完全公开、无随机因素（没有骰子、暗牌、概率）；
  3. 有限终止：任意一局有限步内必结束，且无法行动者负。

"公平"的含义：从同一局面出发，双方可用的合法操作集合完全相同——与"轮到谁"无关。

这一点至关重要：正因为操作集合不随玩家改变，一个 ICG 才只需要一张有向图来建模（而非给两个玩家各画一张）。所以：

ICG = 操作集合与玩家无关的有向图游戏。

凡是 ICG，就一定能套用第 3、5 节的 N/P 态与 SG 理论。

  • 典型 ICG：Nim、取石子、巴什、威佐夫、翻硬币。
  • 非 ICG：围棋 / 象棋（双方操作集不同）、大富翁（有骰子）、扑克（有暗牌）。

3. 必胜态与必败态（N / P-position）

在 DAG 上，对每个结点定义两类胜负属性：

  • P-position（必败态 / Previous-player winning）：当前轮到行动的玩家必败（假设对手不犯错）。
  • N-position（必胜态 / Next-player winning）：当前轮到行动的玩家有必胜策略。

自底向上的递推法则（从出度为 \(0\) 的终止结点往回推）：

  1. 终止结点（出度 \(0\)）是 P-position——轮到你却无路可走，你输。
  2. 一个结点是 N-position \(\iff\) 它至少有一条出边指向 P-position（你走一步把对手送进必败态）。
  3. 一个结点是 P-position \(\iff\) 它的所有出边都指向 N-position（无论你怎么走，对手都进入必胜态）。

二染色定理：上述规则把整张 DAG 的每个结点恰好染成 N 或 P 之一，且不产生矛盾。
证明用数学归纳 / 拓扑序：按拓扑序从小到大处理结点，终止结点已定为 P；每个非终止结点的属性仅由其后继（拓扑序更小的结点）决定，归纳假设保证后继属性已确定，故当前结点属性唯一确定。

注：P 是"怎么走都赢不了"，N 是"至少有一条路能赢"。

4. Nim 游戏：原型示例

模型：有 \(k\) 堆石子，第 \(i\) 堆有 \(a_i\) 个。两人轮流选某一堆取走任意正整数个（至少 \(1\)，至多整堆），取走最后一颗者胜。

"游戏的和"视角：单独的"一堆石子"就是一个最简单的有向图游戏（结点 \(0,1,\dots,a_i\)，从 \(x\) 可走到任意 \(0\le y<x\)）。Nim = \(k\) 个这样的单堆游戏的和（每回合任选一堆走一步）。

Bouton 定理（1901）：

\[\boxed{\text{先手必胜}\quad\Longleftrightarrow\quad a_1\oplus a_2\oplus\cdots\oplus a_k\neq 0} \]

其中 \(\oplus\) 为按位异或。即：异或和为 \(0\) 是必败态（P），非 \(0\) 是必胜态（N）。

证明：记总异或和 \(S=a_1\oplus\cdots\oplus a_k\)。

  • (a) 终局 \(S=0\) 为 P：所有堆为空 \(\Rightarrow S=0\)，且确实无合法操作，符合第 3 节终止结点定义。

  • (b) \(S\neq 0\) 时存在一步使其变 \(0\)（\(\Rightarrow\) 是 N-position）：
    设 \(S\) 的二进制最高位为第 \(b\) 位（即该位为 \(1\)）。必存在某堆 \(a_i\) 在该位也为 \(1\)——否则所有 \(a_i\) 第 \(b\) 位都是 \(0\)，异或和该位不可能为 \(1\)。取这一堆，令

    \[a_i' = a_i\oplus S \]

    因为 \(a_i\) 与 \(S\) 在第 \(b\) 位都是 \(1\)，异或后第 \(b\) 位变 \(0\)，故 \(a_i'<a_i\)。于是可从第 \(i\) 堆取走 \(a_i-a_i'\) 个使其变为 \(a_i'\)。此时新异或和

    \[S' = S\oplus a_i\oplus a_i' = S\oplus a_i\oplus(a_i\oplus S)=0 \]

    即总能把异或和变成 \(0\)，且操作合法（\(a_i'<a_i\)）。

  • (c) \(S=0\) 时任何一步都使其变非 \(0\)（\(\Rightarrow\) 是 P-position）：
    若从某堆 \(a_i\) 取成 \(a_i'<a_i\)，新和 \(S'=S\oplus a_i\oplus a_i'=a_i\oplus a_i'\)。由于 \(a_i'\neq a_i\)，有 \(a_i\oplus a_i'\neq 0\)，故 \(S'\neq 0\)。即任何操作都会离开 \(0\) 态。

(b)(c) 合起来：凡 \(S\neq 0\) 都能走到 \(S=0\)；凡 \(S=0\) 都只能走到 \(S\neq 0\)。配合终局，整张图按异或和是否为 \(0\) 精确染色，定理得证。

胜负策略：面对 \(S\neq 0\)，按 (b) 的构造找到那堆并取；此后对手每次把和搞成非 \(0\)，你总能再变回 \(0\)，最终对手面对 \(S=0\) 的空局。

5. SG 函数：把任意有向图游戏映射到 Nim

Nim 的"异或判胜负"极其优美，但多数游戏的单堆不是"取任意个"那么简单。SG 函数的强大之处在于：它把任意一个 ICG 局面映射成一个"等价 Nim 堆的大小"，从而让所有 ICG 都能套用 Nim 的异或规则。

5.1 mex 运算

对非负整数集合 \(S\subseteq\mathbb{N}_0\)，定义

\[\operatorname{mex}(S)=\min\{\,n\in\mathbb{N}_0\mid n\notin S\,\} \]

即"最小的非负整数排斥值"。示例：

  • \(\operatorname{mex}(\{0,1,2\})=3\)
  • \(\operatorname{mex}(\{1,2,4\})=0\)
  • \(\operatorname{mex}(\varnothing)=0\)

5.2 SG 函数的定义

对每个结点 \(x\)，定义其 SG 值：

\[\boxed{SG(x)=\operatorname{mex}\{\,SG(y)\mid (x,y)\in E\,\}} \]

即：\(x\) 的 SG 值 = 它所有直接后继的 SG 值的 mex。

  • 若 \(x\) 是终止结点（无后继），则集合为空，\(\operatorname{mex}(\varnothing)=0\)，故 \(SG(x)=0\)。这恰好与"终止局面是 P-position"吻合。
  • 由第 3 节的递推，可归纳得到核心判定：

\[\boxed{SG(x)=0\iff x\text{ 是 P-position（必败）};\qquad SG(x)>0\iff x\text{ 是 N-position（必胜）}} \]

5.3 感性理解

\(SG(x)\) 表示"该局面在 Nim 中等价于一个大小为 \(SG(x)\) 的堆"。\(SG=0\) 就像空堆——你在这个局面上已经榨不出任何优势。

6. 游戏的和与 SG 定理（核心）

游戏的和（Sum of Games）：同时摆着若干个互相独立的子游戏 \(G_1,G_2,\dots,G_k\)。每回合玩家任选一个子游戏走一步（其余不动），直到所有子游戏都无法行动。这就是组合游戏的"和"。

Sprague–Grundy 定理（SG 定理，1935 / 1939）：

\[\boxed{SG(G_1+G_2+\cdots+G_k)=SG(G_1)\oplus SG(G_2)\oplus\cdots\oplus SG(G_k)} \]

即：和的 SG 值 = 各子游戏 SG 值的异或和。

推论：任意 ICG 都等价于一个 Nim 实例——把每个子游戏的 SG 当作一个 Nim 堆的大小，整体胜负由这些"堆"的异或和决定。于是求解任意复杂 ICG 的总思路是：

  1. 把原游戏拆成若干独立子游戏；
  2. 对每个子游戏算出（或递推 / 打表）其 \(SG\) 值；
  3. 全部异或；结果非 \(0\) 则先手必胜，为 \(0\) 则必败。

7. SG 定理的严格证明

对"和的规模"（子游戏个数与各自结点的拓扑序）做归纳。先证两个引理（对单个结点 \(x\)，\(g=SG(x)\)）：

  • 引理 (i)：对任意 \(0\le t<g\)，存在后继 \(y\)（即 \((x,y)\in E\)）使 \(SG(y)=t\)。
    证明：由 \(g=\operatorname{mex}\{SG(y)\mid(x,y)\in E\}\)，所有小于 \(g\) 的非负整数都出现在后继 SG 集合中，故必存在这样的 \(y\)。
  • 引理 (ii)：不存在后继 \(y\) 使 \(SG(y)=g\)。
    证明：若某后继 SG 等于 \(g\)，则 \(g\) 就不在"最小排斥值"的位置上，与 \(g\) 是 mex 矛盾。

现在考察和游戏 \(G=G_1+\cdots+G_k\)，记 \(g_i=SG(G_i)\)，并记当前组合值 \(g=g_1\oplus\cdots\oplus g_k\)。

  • 情形 A：\(g=0\)。任意一步必然改变某一个子游戏 \(G_i\)（从 SG 值 \(g_i\) 变到某个 \(g_i'\neq g_i\)）。新组合值

    \[g'=g\oplus g_i\oplus g_i'=g_i\oplus g_i'\neq 0\quad(\text{因 }g_i\neq g_i') \]

    即从 \(g=0\) 出发的任何一步都走到 \(g\neq 0\)。故 \(g=0\) 对应 P-position。

  • 情形 B：\(g\neq 0\)。设 \(g\) 的最高位为第 \(b\) 位。必存在某个 \(i\) 使 \(g_i\) 第 \(b\) 位为 \(1\)（理由同第 4 节 (b)）。令

    \[g_i'=g_i\oplus g \]

    则 \(g_i'<g_i\)（最高位被清零）。因为 \(g_i'<g_i=g_i\) 且 \(g_i=SG(G_i)\)，由引理 (i)，在子游戏 \(G_i\) 中存在一步从当前局面走到 SG 值为 \(g_i'\) 的局面。走这步后新组合值

    \[g'=g\oplus g_i\oplus g_i'=g\oplus g_i\oplus(g_i\oplus g)=0 \]

    即从 \(g\neq 0\) 出发，必存在一步走到 \(g=0\)。故 \(g\neq 0\) 对应 N-position。

情形 A、B 与第 3 节 N/P 判定、第 4 节 Nim 证明逐字平行。归纳闭环，证得和的 SG 恰等于各分量 SG 的异或和，即 SG 定理成立。

一句话记忆：SG 是"局面对 Nim 的等价堆高"；多个独立游戏相加用异或；判胜负看总 SG 是否为 \(0\)。

8. 理论示例（SG 计算演示）

8.1 受限单堆取子（S-Nim 思路）

模型：一堆共 \(x\) 个，每次只能取集合 \(S=\{s_1,s_2,\dots\}\) 中的数量（\(s\le x\)）。这是单堆有向图游戏，SG 直接递推：

\[SG(x)=\operatorname{mex}\{\,SG(x-s)\mid s\in S,\ s\le x\,\} \]

示例：取 \(S=\{1,2,3\}\)，手算前若干项：

\(x\) 0 1 2 3 4 5 6 7
\(SG(x)\) 0 1 2 3 0 1 2 3

规律：\(SG(x)=x\bmod 4\)，周期为 \(4\)。若有多堆，总 SG 为各堆 \(SG\) 的异或；总 SG \(\neq 0\) 则先手胜。

8.2 用「有向图 + SG」统一重释

  • 巴什博弈（一堆 \(n\) 个、每次取 \([1,m]\) 个）：即 \(S=\{1,2,\dots,m\}\)，递推得 \(SG(n)=n\bmod(m+1)\)。
  • 标准 Nim（一堆可取任意正数量）：即 \(S=\{1,2,\dots\}\)，递推得 \(SG(n)=n\)——单堆的 SG 就是堆本身的大小！这也说明"多堆 Nim 异或"正是 SG 定理的特例（\(SG=\bigoplus a_i\)）。

8.3 SG 的计算方法

  • 记忆化搜索：dfs(x) 返回 \(SG(x)\)，用 mex 合并后继；适合状态空间有结构、可递归的问题。
  • 打表找周期：许多受限取子游戏的 SG 呈短周期，先暴力算前若干项观察周期，再利用周期回答大询问。

9. C++ 代码模板

9.1 裸 Nim（异或判胜负）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n; cin >> n;
    int sg = 0, x;
    while (n--) { cin >> x; sg ^= x; }      // 总 SG = 各堆异或
    cout << (sg ? "First" : "Second") << '\n';
    return 0;
}

9.2 单堆 SG 记忆化 / 打表（通用框架）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;

const int MAXN = 10005;
int S[MAXN], m;          // 可取步长集合（已排序去重）
int sg[MAXN];            // -1 表示未计算
bool vis[MAXN];

int getSG(int x) {
    if (sg[x] != -1) return sg[x];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        if (S[i] <= x) vis[getSG(x - S[i])] = true;
        else break;
    }
    for (int i = 0; ; i++)                 // mex
        if (!vis[i]) { sg[x] = i; break; }
    return sg[x];
}
// 初始化：memset(sg, -1, sizeof(sg));
// 总 SG：对各堆 a[i] 求 getSG(a[i]) 后全部异或

9.3 游戏的和（多子游戏异或）

// 各子游戏独立，分别算出 SG 值后异或
int total = 0;
for (int i = 0; i < k; i++) total ^= sgOfGame_i(state_i);
// total != 0 ⇒ 先手必胜；total == 0 ⇒ 先手必败

10. 总结与易错点速查表

10.1 判定流程（博弈题思路）

  1. 它是 ICG 吗？（两人、信息公开、无随机、有限终止）不是则 SG 不直接适用。
  2. 能否拆成若干独立子游戏？能 \(\Rightarrow\) 各算 SG 再异或（SG 定理）。
  3. 单局面能否直接递推 \(SG=\operatorname{mex}\{\text{后继 }SG\}\)？能 \(\Rightarrow\) 记忆化 / 打表。
  4. 是否匹配已知闭式模型（Nim / 巴什 / 威佐夫 / …）？匹配则用对应结论。
  5. 是否 Misère（取最后者负）？是 \(\Rightarrow\) 套 Misère 规则（仅全 \(1\) 堆时反转结论）。

10.2 易错点

易错点 说明
忘记"游戏的和"要异或各 SG 多堆 / 多子游戏绝大多数是异或，不是相加
mex 写错 vis 数组要覆盖 SG 上界；SG 上界 \(\le\) 后继种类数
把有环图当 DAG ICG 必须有限终止，才能保证 SG 良定义；出现环说明模型建错
混淆 Normal 与 Misère 仅"所有堆都是 \(1\)"时 Misère 反转结论，其余同 Nim
SG 定义里"后继"枚举不全 必须把所有合法一步都列进 mex 集合
误以为 \(SG(x)\) 就是"剩余步数" SG 是等价 Nim 堆高，不是剩余可走步数

10.3 一句话总纲

任何公平组合游戏都能等价成 Nim。算出每个子游戏的 SG（= 等价堆高），全部异或；异或和非 \(0\) 先手必胜，为 \(0\) 先手必败。
而有向图游戏，正是这一切的统一语言。

 

posted @ 2026-09-04 14:52  lvwangshu  阅读(35)  评论(0)    收藏  举报