Warshall传递闭包算法的学习与实现

1、问题引入

  一个有n个顶点的有向图的传递闭包为:有向图中的初始路径可达情况可以参见其邻接矩阵A,邻接矩阵中A[i,j]表示i到j是否直接可达,若直接可达,则A[i,j]记为1,否则记为0;两个有向图中i到j有路径表示从i点开始经过其他点(或者不经过其他点)能够到达j点,如果i到j有路径,则将T[i,j]设置为1,否则设置为0;有向图的传递闭包表示从邻接矩阵A出发,求的所有节点间的路径可达情况,该矩阵就为所要求的传递闭包矩阵。。。

例如:

有向图为:

由该有向图可以得到初始的邻接矩阵为:

那么warshall传递闭包算法的目的就是由邻接矩阵出发,进行探索求出最终的传递闭包:

2、动态规划求解思路

  动态规划将问题分段,本例warshall算法是通过一系列n阶矩阵r(k)来构造最终阶段n阶传递闭包矩阵r(n)

      R(k) 由它的前趋 R(k-1) 计算得到(分级推进计算)。
      R(0) ——该矩阵不允许它的路径中包含任何中间顶点,即从该矩阵的任意顶点出发的路径不含有中间顶点,此即邻接矩阵。
      R(1) ——允许路径中包含第1个顶点(本例编号 1)作为中间顶点。
      R(2) ——允许路径中包含前2个顶点(本例编号1 2)作为中间顶点。
      R(k) ——允许路径中包含前k个顶点作为中间顶点。
      R(n) ——允许路径中包含全部 n 个顶点作为中间顶点。
      每个后继矩阵 R(k) 对其前趋 R(k-1) 来说,在路径上允许增加一个顶点, 因此有可能包含更多的1(增加前为1的在增加后依然为1)。
3、具体的算法描述
1 warshall(A[1...n,1...n]
2 r(0)<-A;
3 for(k=1;k<=n;k++)
4     for(i=1;i<=n;i++)
5         for(j=1;j<=n;j++)
6             r(k)[i,j]=r(k-1)[i,j] or(r(k-1)[i,k] and r(k-1)[k,j]);
7 return r(n);

4、具体实现代码如下
  说明:(1)有向图的顶点个数和初始邻接矩阵存储在2.txt中(具体如下图),其中4表示有向图中有4 个顶点,其他表示初始邻接矩阵。

     (2)有向图的顶点个数和初始邻接矩阵个数可以随意更改,,,,

     具体代码:

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 void Warshall(int,int**);
 4 void main()
 5 {
 6     int i,j,num;
 7     FILE*p;
 8     p=fopen("2.txt","r");
 9     if(p==NULL)
10     {
11         printf("cannot open 2.txt");
12         exit(-1);
13     }
14     fscanf(p,"%d",&num);
15     int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1));
16     for(i=0;i<num+1;i++)
17         r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
18     for(i=1;i<num+1;i++)
19         for(j=1;j<num+1;j++)
20             fscanf(p,"%d",&r[i][j]);
21     printf("顶点个数为:%d\n",num);
22     printf("邻接矩阵为:\n");
23     for(i=1;i<num+1;i++)
24     {
25         for(j=1;j<num+1;j++)
26             printf(" %d  ",r[i][j]);
27         printf("\n");
28     }
29     Warshall(num,r);
30     printf("最终的传递闭包为\n");
31     for(i=1;i<num+1;i++)
32     {
33         for(j=1;j<num+1;j++)
34             printf(" %d  ",r[i][j]);
35         printf("\n");
36     }
37 
38 }
39 //三重循环实现的warshall算法
40 //r为邻接矩阵,中间存储初试的可达与非可达路径情况,1表示可达,0表示不可达
41 void Warshall(int num,int**r)
42 {
43     int i,j,k;
44     int **temp=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1));
45     for(i=0;i<num+1;i++)
46         temp[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
47     for(k=1;k<=num;k++)//依次取得的可以作为中间点的顶点
48     {
49         for(i=1;i<=num;i++)
50         {
51             for(j=1;j<=num;j++)
52             {
53                 temp[i][j]=(r[i][j])||(r[i][k]&r[k][j]);
54             }
55         }
56         for(i=1;i<=num;i++)
57             for(j=1;j<=num;j++)
58                 r[i][j]=temp[i][j];
59     }
60 
61 }

5、结果如下:

 

6、参考文献

(1)算法导论

(2)数据结构 严蔚敏

(3)网上下载的ppt(第8章 动态规划)

 
posted @ 2012-04-27 10:32  lpshou  阅读(42023)  评论(0编辑  收藏  举报