算法分析

两个主要任务：正确性（不变性x单调性）+复杂度

c++等高级语言的基本指令，均等效于常数条RAM的基本指令；在渐进意义下，两者大体相当

分支转向：goto //算法的灵魂，出于结构化考虑，被隐藏了

迭代循环：for（） 、while（） 、....//本质是“if+goto”

调用加递归（自我调用）//本质也是goto

 

复杂度分析的主要方法：

迭代：级数求和

递归：递归跟踪+递推方程

猜测+验证

 

级数：

算数级数：与末项平方同阶

T(n)=1+2+3+......+n=O(n^2)

幂方级数：比幂次高出一阶

T(n)=1^2+2^2+3^2+......+n^2=O(n^3)

T(n)=1^3+2^3+3^3+......+n^3=O(n^4)

T(n)=1^4+2^4+3^4+......+n^4=O(n^5)

.......

几何级数（a>1）：与末项同阶

T(n)=a^0+a^1+a^2+......+a^n=O(a^n)

1+2+4+....+2^n=O(2^n)

收敛级数：

1/1/2 +1/2/3 +1/3/4 +......+ 1/（n-1）/n = O(1)

1+1/2^2 +......+ 1/n^2 = O(1)

1/3 +1/7 +1/8+...... = O(1)

可能未必收敛，然而长度有限：

h(n)=1 + 1/2 +1/3 +...+ 1/n =O(log n) //调和级数

log 1 + loh 2 + log 3 + ...... log n =O(nlog n) //对数级数

 

递归：

递归跟踪分析（直观形象，仅适用于简明的递归模式）：

检查每个递归实例

累计所需时间（调用语句本身，计入对应的子实例）

其总和即为算法执行时间

递推方程：

T（n）=T(n-1) + O(1)

T（0）=O(1)

求解：

T（n）-n=T(n-1)-(n-1)=...

　　　　=T(2)-2

　　　　=T(1)-1

　　　　=T(0)

T(n)=O(1)+n=O(n)