随笔分类 - 高等数学
我想让高等数学变得不再难学、易于理解。我正在把学习过程中那些自己好不容易弄懂的知识点通过简单易懂的方式写出来，然后发在这里帮助后学之人。
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摘要：It is illustrated by the figure that the set of the rational numbers is not a continuum, there are holes in it, one question is how many points are in
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摘要：对于数列极限定义 1，其中我们着重来看$\lim_{n \rightarrow \infty}\mspace{2mu} a_{n} = a$，这是大多数教材通常采用的对极限现象的符号代表形式，为了进一步了解极限的性质及其计算极限就有必要建立起极限的四则运算法则。如下便是利用极限的lim符号表示形式对
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摘要：对于极限四则运算法则的描述，首先让我们来看“数学分析教程，第二版，常庚哲，史济怀，p15”的描述： 再看“数学分析，第二版，陈纪修，於崇华，金路，p42”的描述： 有没有发现什么错误呢？ 极限除法法则实际上说的是数列$\frac{a_{n}}{b_{n}}$和数列$a_{n}$与$b_{n}$的极限
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摘要：圆的面积函数是 \[S(r) = \pi r^{2}\] 周长函数是 \[C(r) = 2\pi r\] 这二者的关系可以通过导数联系起来 \[S^{'}(r) = \left( \pi r^{2} \right)^{'} = 2\pi r = C(r)\] 简而言之就是圆的面积的导数等于周长，为什
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摘要：对于\(\sin\frac{1}{x}\)，当\(x\)从0的右侧附近逐渐靠近0时，\(\frac{1}{x}\)的变化是非常大的，比如当\(x\)由\(\frac{1}{10}\)变小到\(\frac{1}{100}\)，仅仅是\(\frac{9}{100} = \mathrm{\Delta}x
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摘要：First, it is necessary to introduce the following definitions1, The function is said to be increasing at \(x_{0}\) if for all \(x\)-values in some int
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摘要：极限，比如说数列极限，简单讲来说的是“当n越来越大时，数列\({\{ a}_{n}\}\)越来越靠近实数L”，是一种动态过程，而其正式定义，也称为数列极限的(ε, N)定义，却是这么描述：设 \(\left\{ a_{n} \right\}\) 为数列，\(a\) 为定数，若对任给的正数 \(\va
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摘要：前几个月头脑里产生了这个想法： 毕达哥拉斯学派在发现无理数那一刻之前使用的是有理数，那么毕达哥拉斯定理（勾股定理）那时候也就可以看作是在有理数集内成立的定理，但是发现无理数的那位（名叫Hippassus of Metapontum）在不确定两直角边为1的直角三角形的斜边长度是不是有理数来的情况下，就
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摘要：用极限（定积分）计算坐标系上曲线的平均高度
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摘要：如上图所示，在[a,b]上取n+1个不同的点\(x_{i}\)，即 \(a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \cdots < {x_{i - 1} < x}_{i} < \cdots < x_{n} = b\) （其中\(i = 1,2,\ldots,n\)） 那么[a,b]就被
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摘要：在很多教材里\(\int_{}^{}{f(x){dx}}\)都被定义成是\(f(x)\)的所有原函数的集合，如《数学分析教程》，第二版，常庚哲，史济怀，p228： 既然\(\int_{}^{}{f(x){dx}}\)是一个集合，那么根据定义来看应该有 \[\int_{}^{}{f(x)dx = \{
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摘要：林群院士这个演讲让我感觉很推心置腹，推荐大家看看。我赞同其中的很多观点，故摘录并补充一些于下，希望对诸君有所助益。 他（丘成桐）经常告诫学生，“要学好微积分和线性代数，归根结底一切高级的数学都是微积分和线性代数的各种变化。” 我们的教科书把简单的东西讲得很复杂。能够通过一个案例说清楚的，不讲案例，却
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摘要：本文会解答几个洛必达法则证明过程中的问题，同时也力求提供可以理解掌握的、能从中吸取到有用经验的∞/∞型洛必达法则的证明方法。 0/0型洛必达法则1（L’Hospital’s Rule: 0/0 case）：在区间(a, b)上，f(x)和g(x)都可导、g′(x) ≠ 0、limx → a+f(x)
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摘要：如果一个处处可导的函数的图像和一条水平直线交于不同的两点（如图所示）， 那么在这两点间的函数图像上至少存在一点处的切线平行于该水平直线（显然也平行于x轴），这种现象可以更严谨地表述为罗尔定理（Rolle’s Theorem1）：如果函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b) 上可导，并且f(a)=f
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摘要：不管哪个科目的教材选择，一旦决定要学我总试图找一本较好的来，次一点的我也懒得花时间精力投入在上面——这就是我的完美主义情节！当我进入大学想自学高等数学时，我也同样试图去找一本较好的教材。 刚找的时候，网上很多人推荐同济大学的那本高等数学书，说是好多学校都在用，又因为同济大学在国内也算是名牌，基于这两
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摘要：那么一般的曲线的切线该怎么定义呢？且看下文！ $P(x_{0},y_{0})$和$Q(x_{0} + \Delta x,y_{0} + \Delta y)$分别是上图曲线上不同的两点（这意味着$\Delta x \neq 0$），Q可以选在P的右边也可以选在左边（这意味着$\text{Δx}$可正可
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摘要：为什么要求瞬时速度？ 不清楚为什么要算瞬时速度而去求瞬时速度显得很可笑，所以这是一个首先必须搞清楚的问题。在此举例说明：如果一个骑摩托车的人突然撞上一棵树，撞树那一瞬间的速度（瞬时速度）可以决定他的生死；当一颗子弹打中目标的时，子弹碰到目标时的速度（瞬时速度）决定了子弹的杀伤力。所以，研究瞬时速度是
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摘要：本文第一版发布于2018年1月10日，第四次修订于2021年12月24日。 看完本文后你至少会明白如下几个关键问题： 无理数最初来源于几何上的发现，那为什么不采用几何的方式来定义无理数呢？是什么原因使得康托（Georg Cantor）和戴德金（Richard Dedekind）的无理数或实数定义都不
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摘要：这篇文章主要是写给学完小学、初中和高中数学的学生（主要是大学生）看的，让我们先从两个例子谈起。 例1（取自：人教版七年级数学上册，2012年版，P32）： 教材里先向你展示了两个特殊的例子，然后就想依此得出了有理数乘法交换律和结合律的一般规律，这种方法严谨吗？教材中的论述方式最多只能说明这两条规律在
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摘要：有理数的阿基米德性质 任何有理数$r=\dfrac {p} {q}\leq |p|$（这里${p}$和${q}$都是整数并且${q≠0}$），因为$r=\dfrac {p} {q}\leq \dfrac {|p|} {|q|}\leq \dfrac {|p|} {1}=|p|$，可知 对于任何有理数
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