「凸包」

凸包

Upd10.17

来补坑啦！

总结一下，我做过的凸包题，好像只有两道。

上一道现在还没有A（呜呜

基本的凸包就是一个套路，就是你先化简一个看上去很丑的柿子，然后把它化简成$y=ax+b$的形式

基本上就是有很多个a与b，那么一般就是求所有直线在同一个x条件下的最大值/最小值。

那么就成为了静态凸包的基本问题了：静态维护上凸包/下凸包。

具体的，以下凸包为例。（就做过下凸包，上凸包应该差不多唔

要维护下凸包，实际上就是找在每个x条件下最靠下边的那一条线。

我们把所有的直线按照斜率降序排序，为什么呢

因为我们知道当x趋近正无穷时一定是斜率小的y值小，我们想让这个凸包更加有棱有角

所以要先把一些不够优秀的直线放到凸包里，希冀它能作出一点贡献

那么重点来了，如何维护下凸包？

假如我们现在有一个新加入的直线，我们假设它与栈顶直线的交点横坐标为x1,与栈顶-1直线的交点横坐标为x2.

考虑到加入的直线的斜率一定是单减的，那么画一下图可以发现（其实是我语文不好）当x1<x2时，栈顶的直线一定不能够构成下凸包

那么此时就可以把栈顶pop掉了，这样一直做，一直到构成下凸包为止。

正确性？画画图显然啊（再次黑框）

例题 [CF535E]Tavas and Pashmaks

设$y_{i}=\frac{S_{1}}{a_{i}}+\frac{S_{2}}{b_{i}}$

那么我们实际上就是要求一对S1,S2使得$y_{i}$最小。

考虑此时有两个未知数，不好搞，总不能搞三维凸包吧。

考虑到S1S2的数据范围是一切实数，那么考虑到将S1S2同时缩小倍数关系选手的y关系不变。

那么就把S2缩成1好咯。

柿子变成了$y_{i}=\frac{A}{a_{i}}+\frac{1}{b_{i}}$

那就好搞咯，静态维护下凸包就好咯。

入门题。（但是我考试时候屁都不会）

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define lb long double
#define N 600005
using namespace std;
const lb eps=9e-25;
inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48,ch=getchar();
    return x*f;
}
struct node{int a,b,id;}q[N],p[N];
bool operator < (const node &a,const node &b){return a.a!=b.a?a.a<b.a:a.b<b.b;}
int sta[N],top,n;
int v[N];
map<int,int>M;
#define A(x) q[x].a
#define B(x) q[x].b
#define ID(x) q[x].id
long double point(int x,int y){return 1.0L*(B(x)-B(y))*A(x)*A(y)/B(x)/B(y)/(A(y)-A(x));}
int main(){
//    freopen("text.in","r",stdin);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) A(i)=read(),B(i)=read(),ID(i)=i;

    sort(q+1,q+n+1);int io=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(A(i)==A(i-1)&&B(i)==B(i-1)&&i!=1) M[ID(i)]=M[ID(i-1)];
        else M[ID(i)]=ID(i),p[++io]=q[i];
    for(int i=1;i<=io;++i) q[i]=p[i];
    for(int i=1;i<=io;++i){ED:bool D=0;
        while(top&&A(sta[top])==A(i)) top--,D=1;
        while(top>=2&&point(sta[top],i)<point(sta[top-1],i)) top--,D=1;
        while(top&&point(sta[top],i)<eps) top--,D=1;
        if(D) goto ED;
        sta[++top]=i;
    }
    for(int i=1;i<=top;++i) v[M[ID(sta[i])]]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i) if(v[M[i]]) printf("%d ",i);
    return 0;
}

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