快速幂

[NOIP2013 提高组] 转圈游戏

题目描述

\(n\) 个小伙伴（编号从 $0 $到 \(n-1\)）围坐一圈玩游戏。按照顺时针方向给 $n $个位置编号，从\(0\) 到 \(n-1\)。最初，第 $0 $号小伙伴在第 \(0\)号位置，第 $1 $号小伙伴在第 \(1\) 号位置，……，依此类推。游戏规则如下：每一轮第 \(0\) 号位置上的小伙伴顺时针走到第$ m$ 号位置，第 $1 $号位置小伙伴走到第 \(m+1\) 号位置，……，依此类推，第n − m号位置上的小伙伴走到第 0 号位置，第\(n \sim m+1\) 号位置上的小伙伴走到第$ 1$ 号位置，……，第$ n-1$ 号位置上的小伙伴顺时针走到第\(m-1\) 号位置。

现在，一共进行了 \(10^k\)轮，请问$ x$ 号小伙伴最后走到了第几号位置。

输入格式

共$ 1 $行，包含 \(4\) 个整数$ n,m,k,x$，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式

$1 $个整数，表示 \(10^k\)轮后 \(x\) 号小伙伴所在的位置编号。

样例 #1

样例输入

10 3 4 5

样例输出

5

提示

对于 \(30\%\)的数据，\(0 < k < 7\)；

对于 \(80\%\)的数据，\(0 < k < 10^7\)；

对于$ 100%$的数据，\(1 <n < 1,000,000,0 < m < n,1 ≤ x ≤ n,0 < k < 10^9\)。

分析

比赛的时候第一个思路也是快速幂，但是它这个数据太大，感觉有点看晕了。感觉就是对快速幂的理解不够深。

快速幂就是求 $ a^b $ 时，当这个数的 b 十分大时采取的办法：变乘边模。因为 $ a^b $ 可以表示为 $ a^{b-c}*a $ 这是显然的吧。然后如何拆分呢，可以用二进制数来表示 b 。如何求一个数的二进制数？

int a[100];//存二进制数
int cnt;//下标
void qmi(int b)
{
	while(b)
    {
        b[++ cnt] = b % 2;
        b /= 2;
    }
    return;
}

我相信这段应该是没问题的。思路也就是这样：模一个数，若为 1 那么这个位置上用二进制表达就是 1 。感觉有点抽象，比如 5 。

• 5 % 2 = 1。第一位是 1 吧 。再 / 2 = 2
• 2 % 2 = 0。第二位是 0 。2 / 2 = 1
• 1 % 2 = 1。第三位是 1

5 用二进制数表示为 101。这上面是一个道理。

既然可以把 k 拆开 ，那就可以分步处理了。又因$ a^{b-c}*a $，回看题面 ，a 就相当于 10 （轮 $ 10 ^ k $ 轮），k 就相当于 b。其实刚接触快速幂时，我想用 pow 函数写，但是 pow 返回的数范围太小，所以要换一种办法：a 乘以自己，表示下一位。a 初始为 10 ，相当于 \(10 ^ 1\)。a *= a，变为 $ 10 ^ 2 $ 。 a *= a，变为 $ 10 ^ 4 $ ，1 2 4 ，是否就是二进制的变化。所以 a 的变化还将 k 囊括进来了。

看一下代码

#include<iostream>
using namespace std;

int n, m, k, x, ans = 1, b = 10;

int main()
{
	scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &k, &x);
	ans *= m;
	ans %= n;
	while(k)
	{
		if(k % 2 == 1)
			ans = ans * b % n;
		b *= b;
		b %= n;
		k >>= 1;
	}
	ans += x % n;
	ans %= n;
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

真题的变量并不会给得很明显，要找到 一 一 对应关系。

这里还要会的一个公式是 （ a + b ）% mod = a % mod + b % mod .