【算法复习】分治算法

Outline

  • 分治思想和递归表达式
  • 大整数乘法
  • 矩阵乘法的Strassen算法
  • 快速傅里叶变化
  • 基于分治的排序
    • merge-sort排序
    • 快速排序
    • 排序的下界问题
  • 中位数和顺序统计量
  • 最邻近点对
  • 凸包

Notes

## 分治思想和递归表达式

【分治思想】

  将一个问题分解为与原问题相似但规模更小的若干子问题,递归地解这些子问题,然后将这些子问题的解结合起来构成原问题的解。这种方法在每层递归上均包括三个步骤:

  • divide(分解):将问题划分为若干个子问题
  • conquer(求解):递归地解这些子问题;若子问题Size足够小,则直接解决之
  • Combine(组合):将子问题的解组合成原问题的解

分治递归表达式

  • 设T(n)是Size为n的执行时间,若Size足够小,如n ≤ C (常数),则直接求解的时间为θ(1)
    • ①设完成划分的时间为D(n)
    • ②设分解时,划分为a个子问题,每个子问题为原问题的1/b,则解各子问题的时间为aT(n/b)
    • ③设组合时间C(n)
  • 则有递归方程总结为:
    • T(n)=θ(1) if n<c
    • T(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) if n≥c
  • 技术细节(注意):
    • 在声明、求解递归式时,常常忽略向上取整、向下取整、边界条件
    • 边界条件可忽略,这些细节一般只影响常数因子的大小,不改变量级。求解时,先忽略细节,然后再决定其是否重要!

 

## 大整数乘法

*********优化划分阶段,降低 T(n)=aT(n/b) + f(n) 中的 a*********

  这里我们假设有两个大整数X、Y,分别设X=1234、Y=5678。现在要求X*Y的乘积,小学的算法就是把X与Y中的每一项去乘,但是这样的乘法所需的时间复杂度为O(n^2),效率低下,我们可以尝试使用分治来解决。

 XY = (A2n/2 + B)(C2n/2 + D)

= AC2n + (AD+BC)2n/2 + BD

= AC2n + ((A-B)(D-C)+AC+BD)2n/2 + BD

  • 算法分析:
    • 首先将X和Y分成A,B,C,D
    • 此时将X和Y的乘积转化为上述式子,把问题转化为求解式子的值
    • 此时递归式为 T(n)=4T(n/2)+θ(n) 
    • 算法复杂度 T(n)=θ(n2)
  • 继续优化: AD+BC=(B-A)(C-D)+AC+BD
  • 算法过程:
    •  划分产生A,B,C,D;
    •  计算 B-A 和 C-D;
    •  计算 n/2 位乘法 AC、BD、(B-A)(C-D);
    •  计算 (B-A)(C-D) + AC + BD;
    •  AC左移n位,((B-A)(C-D) + AC + BD) 左移n/2位;
    •  计算XY
  • 递推式:
    • T(n)=θ(1)                   if n=1
    • T(n)=3T(n/2)+O(n)          if n>1
  •  算法复杂度:          T(n)=O(nlog3) =O(n1.59)

 

## 矩阵乘法的Strassen算法

【矩阵相乘的朴素算法 T(n) = Θ(n3)】

朴素矩阵相乘算法,思想明了,编程实现简单。时间复杂度是Θ(n^3)。伪码如下

1 for i ← 1 to n
2     do for j ← 1 to n
3         do c[i][j] ← 0
4             for k ← 1 to n
5                 do c[i][j] ← c[i][j] + a[i][k]⋅ b[k][j]

矩阵相乘的strassen算法 T(n)=Θ(nlog7) =Θ (n2.81)

  一般算法需要八次乘法,四次加法;算法效率是Θ(n^3);

  鉴于上面的分治法方案无法有效提高算法的效率,要想提高算法效率,由主定理方法可知必须想办法将2中递归式中的系数8减少。Strassen提出了一种将系数减少到7的分治法方案,如下图所示。

  我们可以看到上面只有7次乘法和多次加减法,最终达到降低复杂度为O( nlg7 ) ~= O( n2.81 ); 

SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A,B)

n=A.rows

let C be a new n*n matrix
if n==1
    c11=a11*b11
else partition A, B and C as in equation(1)
    C11=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B21)
    C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B12) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B22)
    C21=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B21)
    C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B22) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B22)

return C

 

## 快速傅里叶变换(FFT)

问题定义:

    

算法思想:

    

 伪代码:

      

递归方程:

      

算法复杂度:   T(n) = θ(n logn)

 

## 基于分治的排序

【归并排序】

归并排序是分治思想的典型应用,

划分策略:根据中间点将数组集合划分成两部分,不断递归

合并策略:比较a[i]和b[j]的大小,若a[i]≤b[j],则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中,并令i和k分别加上1;否则将第二个有序表中的元素b[j]复制到r[k]中,并令j和k分别加上1,如此循环下去,直到其中一个有序表取完,然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。

MergeSort(A,i,j)
Input:  A[i,…,j]
Output:排序后的A[i,…,j]
1.  k ← (i+j)/2;
2.  MergeSort(A,i,k);
3.  MergeSort(A,k+1,j);
4.  l←i;      h ← k+1;    t=i;                       //设置指针
5.  While l≤k &  h< j   Do
6.       IF   A[l] < A[h]  THEN   B[t] ← A[l]; l ← l+1; t ← t+1;
7.       ELSE B[t] ← A[h]; h ← h+1; t ← t+1;
8.  IF  l<k   THEH                                //第一个子问题有剩余元素
9.       For   v ← l   To   k   Do
10.          B[t] ← A[v]; t ← t+1;
11. IF  h<j   THEN                                //第二个子问题有剩余元素
12.         For   v ← h   To   j   Do
13.             B[t] ← A[v]; t ← t+1;
14. For  v ← i   To   j   Do                    //将归并后的数据复制到A中
15.        A[v] ← B[v];

复杂度分析: T(n)=2T(n/2)+O(n)  T(n)=O(nlogn)

复习:归并排序具有如下特点:

  • 归并排序的时间复杂度为O(nlogn),这是基于比较的排序算法所能达到的最高境界;
  • 归并排序是一种稳定的算法,这一点在某些场景下至关重要;
  • 归并排序是最常用的外部排序方法(当待排序的记录放在外存上,内存装不下全部数据时,归并排序仍然适用,当然归并排序同样适用于内部排序...);
  • 但其也需要O(n)的辅助空间,而与之效率相同的快排和堆排分别需要O(logn)和O(1)的辅助空间,在同类算法中归并排序的空间复杂度略高

【快速排序】

划分策略:选取一个记录作为枢轴,经过一趟排序,将整段序列分为两个部分,其中一部分的值都小于枢轴,另一部分都大于枢轴。

递归策略:然后继续对这两部分继续进行排序,从而使整个序列达到有序。

合并策略:无操作

QuickSort(A,i,j)
Input: A[i,…,j], x
Output: 排序后的A[i,…,j]
1. temp←rand(i,j); //产生i,j之间的随机数
2. x ← A[temp]; //以确定的策略选择x
3. k=partition(A,i,j,x); //用x完成划分
4. QuickSort(A,i,k); //递归求解子问题
5. QuickSort(A,k+1,j);

Partition(A,i,j,x)
1. low←i ; high ←j;
2. While( low< high ) Do
3.     swap(A[low], A[high]);
4. While( A[low] < x ) Do
5.     low←low+1;
6. While( A[low] < x ) Do
7.     high←high-1;
8. return(high)

 

平均、最优的时间复杂度为O(nlogn),最差的时间复杂度为O(n^2)

平均的空间复杂度为O(logn),最差的空间复杂度为O(n)

排序的下界是:Ω(n log n)

 

## 中位数和顺序统计量

【最大值最小值】

算法MaxMin(A)
输入: 数组A[i,…,j]
输出:数组A[i,…,j]中的max和min
1. If j-i+1 =1 Then 输出A[i],A[i],算法结束
2. If j-i+1 =2 Then
3.     If A[i]< A[j] Then输出A[i],A[j];算法结束
4. k←(j-i+1)/2
5. m1,M1 ←MaxMin(A[i:k]);
6. m2,M2 ←MaxMin(A[k+1:j]);
7. m ←min(m1,m2);
8. M ←max(M1,M2);
9. 输出m,M

 

时间复杂度分析:T(n) = 3n/2 - 2

所以时间复杂度为:O( ⌊3n/2⌋ )

【中位数的线性时间选择算法】

  •  这种算法在最坏的情况下的时间复杂度为O(n),其具体过程如下:
    • 将输入数组划分为n/5组,每组有5个元素,且剩下的至多有一组的元素小于5个。
    • 寻找这n/5个组中每个组的中位数,可以将每组做一次排序,然后选取每组的第三个元素。
    • 对于第2部找出的n/5个中位数递归的调用Select函数求出其中位数x.(约定偶数个中位数为其较小的中位数)
    • 按照找到的中位数x将数组划分为两个部分,求得小于或者等于x的元素有q个
    • 如果k==q则返回x,若k<q则在x的左区间找第k小的数,否则在x的有区间找第k-q大的数

Input: 数组A[1:n], 1≤i≤n
Output: A[1:n]中的第i-大的数
1. for j←1 to n/5
2.   InsertSort(A[(j-1)*5+1 : (j-1)*5+5]);
3.   swap(A[j], A[[(j-1)*5+3]);
4. x ←Select(A[1: n/5], n/10 );
5. k ←partition(A[1:n], x);
6. if  k=i  then       return x;
7. else if k>i then    retrun Select(A[1:k-1],i);
8. else                retrun Select(A[k+1:n],i-k);

 

递归方程式:T(n) ≤ T( ⌈n/5⌉ ) +T(7n/10+6) + O(n)

时间复杂度:T(n) = O(n)

## 最邻近点对

  • 输入:Euclidean空间上的n个点的集合Q
  • 输出:P1, P2∈Q,    Dis(P1, P2)=Min{Dis(X, Y) | X, Y∈Q}  
  • 算法过程:
    • 如果Q中仅包含一个点,则算法结束;
    • 把Q中点分别按x-坐标值和y-坐标值排序.
  • 划分:
    • 计算Q中各点x-坐标的中位数m;
    • 用垂线 L:x=m 把Q划分成两个大小相等的子集合QL 和QR, QL中点在L左边, QR 中点在L右边.
  • 求解:
    • 递归地在QL、QR中找出最接近点对:(p1, p2)∈QL , (q1, q2)∈QR
    • d=min{Dis(p1, p2), Dis(q1, q2)};
  • 合并:
    • 在临界区查找距离小于d的点对(pl, qr), pl∈QL,qr∈QR;
    •  如果找到,则(pl, qr)是Q中最接近点对,否则(p1, p2)和(q1, q2) 中距离最小者为Q中最接近点对
  • 时间复杂度
    • Divide阶段需要O(n)时间
    • Conquer阶段需要2T(n/2)时间
    • Merge阶段需要O(n)时间
    • 递归方程
      • T(n)= O(1)                 n = 2
      • T(n) = 2T(n/2) + O(n)      n ≥ 3
    • 用Master定理求解T(n)
      • T(n) = O(nlogn)

 

## 凸包

 

posted @ 2018-06-21 15:04  HongmingYou  阅读(1427)  评论(0编辑  收藏  举报