Comet OJ - Contest #8 神奇函数 莫比乌斯反演+欧拉函数

令 $x=\prod p_{i}^{a_{i}}$
则 $f(x)=\prod p_{i}^{\frac{a_{i}}{2}}$
也就是说 $f(x)$ 等于最大的 $y$ 满足 $y^2|f(x)$
$\sum_{i=1}^{n} f(i)$ 可化为 $\sum_{i=1}^{ \sqrt{n}} i \times g(\frac{n}{i^2})$
其中 $g(x)$ 表示 $1$ ~ $x$ 中有多少个无平方因子数.
$g(x)$ 有一个很经典的莫比乌斯函数容斥:$g(x)=\sum_{i=1}^{\sqrt x} \mu(i)\frac{x}{i^2}$
原式等于 $\sum_{i=1}^{\sqrt n} \sum_{j=1}^{\sqrt{\frac{n}{i^2}}} \mu(j) \frac{n}{i^2j^2}$
令 $k=ij$,$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{k^2} \sum_{i|k} i \times \mu(\frac{k}{i})$
然后后面那个 $\sum_{i|k} i \times \mu(\frac{k}{i})=\phi(k)$.
所以最后答案等于 $\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{k^2} \phi(k)$

code: 

#include <cstdio> 
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>  
#define N 4000003  
#define ll long long 
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
using namespace std;   
int cnt; 
int vis[N],prime[N],phi[N]; 
void init() {  
    phi[1]=1; 
    for(int i=2;i<N;++i) {  
        if(!vis[i]) { 
            prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1; 
        }  
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<N;++j) {             
            vis[i*prime[j]]=1;   
            if(i%prime[j]) { 
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); 
            } 
            else {  
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; 
            }
        }
    }
} 
void solve() { 
    ll n,ans=0; 
    scanf("%lld",&n); 
    ll s=sqrt(n); 
    for(ll i=1;i<=s;++i) { 
        ans+=(n/(i*i))*1ll*phi[(int)i];  
    } 
    printf("%lld\n",ans); 
}
int main() { 
    // setIO("input");  
    int T;       
    init(); 
    scanf("%d",&T);  
    while(T--) solve(); 
    return 0; 
}

  

posted @ 2020-08-11 13:56  EM-LGH  阅读(17)  评论(0编辑  收藏