动态规划系列之五打家劫舍

题目

打家劫舍
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。
示例 2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

解题思路

本题本质上还是求一个子数组累计和最大值，但与前面的题目略有不同。前面说过能够代表动态规划的两个题目：最大子序和是求连续的子数组的累积和；梅花桩是最长上升子数组，是求不连续的子数组的上升数组。而本题是一个新增的类型，求子数组，要求间隔一个取一个。
那么解题思路和前面的类似，还是构建一个dp数组，不断填充dp数组的值，最后一位就是所求。

建立数学模型

构建dp数组，以dp[i]代表第i个房间能够偷窃到的最高金额

状态转移方程

状态转移方程应该这么思考：以[2,7,9,3,1]为例，房间一共有5个。
求解第5个房间，要知道知道第4个房间，求解第4个房间要知道第3个房间，一直到第一个房间。已知第一个房间的偷窃最大值是2。
第二个房间最大值：拿当前房间的，或者不拿当前房间的，比较哪一个大。max(2,7) = 7，所以第二个房间最大值为7
第三个房间最大值：拿当前房间的和第一个房间的，或者不拿值为第二房间最大值。max(2+9,7) = 11，所以第三个房间的最大值11
第四个房间最大值：拿当前房间和第二个房间的，或者不拿值为第三个房间最大值。max(7+3,11) = 11，所以第四个房间的最大值11
第五个房间最大值：拿当前房间和第三个房间的，或者不拿值为第四个房间最大值。max(11+1,11) = 12，所以第五个房间的最大值为12

根据这个规律，可以发现就是比较当前房间的值+前两个房间的最大值和前一个房间的最大值，即：arr[i] + dp[i-2] 和 dp[i-1]

边界值

边界值很明显，第一个房间的最大值就是arr[0]，第二个房间的最大值要比较是max(arr[0], arr[1])。即哪一个大就取哪一个。

代码实现

def rob(nums):

    if not nums:
        return 0
    
    if len(nums) == 1:
        return nums[0]
    
    length = len(nums)
    dp = [0] * length

    dp[0] = nums[0]
    dp[1] = max(nums[0],nums[1])

    for i in range(2,length):
        dp[i] = max(dp[i-2]+ nums[i], dp[i-1])
    
    return dp[-1]

arr = [2,7,9,3,1]
value = rob(arr)
print(value)
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