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首先,回顾一下二分图最小点覆盖的定义:

二分图中,选取最少的点数,使这些点和所有的边都有关联(把所有的边的覆盖),叫做最小点覆盖。
最少点数=最大匹配数

结合昨天看的介绍,,今天按照我的理解给出自己的证明(原创,仅作参考,欢迎讨论)

从最大匹配数到底能不能覆盖所有的边入手。

因为已知了最大匹配,所有再也不能找到增广路了,有最大匹配定义知。

现在所有的边就剩下两种情况了,一种是匹配,一种是不匹配。

假设所有的匹配边有n条,那么左右边就都有n个匹配边的顶点了,标记所有左边匹配边的顶点,则有n个。

问题就是证明n=最小点覆盖,即证明最大匹配数n到底能不能覆盖所有的边入手。

考察右边的匹配边的顶点,明显,左边都可以找到其匹配点且为n,说明所有匹配边已经被这左边的n个点关联了。

接下来证明未匹配边也能被这左边的n个匹配的点关联那么不就证明了“,使这些点和所有的边都有关联(把所有的边的覆盖)”吗。。

对于剩下的未匹配边,每条边都有一个右边点(显然既然是未匹配边,这个点自然是未匹配点)和左边点(我将证明着些左边点都是匹配边的顶点,证明了这一点,也就证明了这左边的n个点也和剩下的未匹配边关联了)

假设上面说的左边点不在这n个匹配边的左边点之中,那从剩下的某个未匹配边的右边点出发不就可以找到增广路了吗(想想增广路的定义就知道了,右未匹配,左未匹配的话那就可以找到增广路了),所以左边点也在匹配边之中,。所以就证明了剩下的未匹配边关联的范围也在这左边的n个匹配点的范围内力了。

也就证明了这n个左边匹配边的点既也右边匹配边关联,也与右边未匹配边关联了,即与所有边关联了。

那么按照最小覆盖的定义,接下来只要证明这个n是做小值就行了。

假设可以比n小,那就相当于随便删一些匹配边,那么这些删除了边的右边点就没人匹配了,也就不满足与所以边关联了,所以矛盾,所有n就是最小值。

故得证。

主要从最小覆盖的定义的两个要点(1,能不能关联所有的边。2,最小)来证明最大匹配的所有左边点就满足这个要求,匹配边有n条那自然匹配边的左边点就有n个了。

 

转载自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_5ceeb9ea0100l08n.html

posted on 2012-11-05 19:00 有间博客 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏