1.试除法判定质数 2.分解质因数 质数

数论的基础知识

质数(又称素数)的定义:质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

还有其他因数的是合数

1既不是质数也不是合数

一:如何判断一个数是不是质数:试除法。时间复杂度O(sqrt(n))

性质:如果d能整除n的话,d | n,那么n / d也能整除n,(n / d) | n

n的所有约数都是成对出现的,d和n / d

所以我们在枚举的时候,可以只枚举每一对中较小的那一个

所以我们只枚举d <= (n / d)这样的d,即d * d <= n,d <= sqrt(n)。时间复杂度一定为O(sqrt(n))

二:分解质因数:试除法。

小学知识,如何将一个数分解质因数,短除法

分解质因数用短除法,把一个数进行短除可以分解成若干个质数相乘

分解质因数要从最小的质数2开始除,直到没有因数2再除以下一个质数3…直至除得的商也是质数为止。

如何用编程实现短除法

暴力做法

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 void divide(int n) {
 4     for (int i = 2; i <= n; i++) {
 5         if (n % i == 0) { //求i的次数。只要这行成立,i一定是质数
 6             int s = 0;
 7             while (n % i == 0) {
 8                 n /= i;
 9                 s++;
10             }
11             //结束后,s就是i的次数
12             cout << i << " " << s << endl;
13         }
14     }
15 }
16 int main() {
17     int n;
18     cin >> n;
19     while (n--) {
20         int x;
21         cin >> x;
22         divide(x);
23         cout << endl;
24     }
25     return 0;
26 }

这里有些细节,对一个数分解质因数,从思路上想,应该枚举这个数所有的质因数,但是在第4行,是枚举了n这个数所有的因数 

枚举所有的因数,而不是枚举所有的质因数,会不会错了

其实是没错的,然后就是数论较难理解的数学知识部分了,为什么这样不错

  当枚举到i的时候,就意味着已经把从2 ~ i - 1所有的n的质因子都除干净了

  然后如果又n % i == 0成立的话,n是i的倍数,所以i当中也不包含任何2 ~ i - 1的质因子,所以i一定是个质数

这样的做法时间复杂度O(n),然后想办法进行优化

首先有个性质:任意一个正整数n最多只有一个质因数大于根号n

很容易用反证法证明,如果n这个数有两个质因数大于根号n,那两个大于根号n的数相乘就大于n了

所以我们可以先把所有小于等于根号n的质因子枚举出来,这样时间复杂度就是O(sqrt(n)),最后再找那一个可能存在的大于根号n的质因子

时间复杂度最好的是O(log n),最坏是O(sqrt(n))

 题目一:试除法判定质数

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 bool is_prime(int n) { //试除法
 4     if (n < 2) {
 5         return false;
 6     }   
 7     for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
 8         if (n % i == 0) {
 9             return false;
10         }
11     }
12     return true;
13 }
14 int main() {
15     int n;
16     cin >> n;
17     while (n--) {
18         int x;
19         cin >> x;
20         if (is_prime(x)) {
21             cout << "Yes" << endl;
22         } else {
23             cout << "No" << endl;
24         }
25     }
26     return 0;
27 }

题目二:分解质因数

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 void divide(int n) {
 4     for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
 5         if (n % i == 0) { //求i的次数。只要这行成立,i一定是质数
 6             int s = 0;
 7             while (n % i == 0) {
 8                 n /= i;
 9                 s++;
10             }
11             //结束后,s就是i的次数
12             cout << i << " " << s << endl;
13         }
14     }
15     if (n > 1) { //如果最后n还大于1,那么此时的n就是那个大于根号n的质因子
16         cout << n << " " << 1 << endl;
17     }
18 }
19 int main() {
20     int n;
21     cin >> n;
22     while (n--) {
23         int x;
24         cin >> x;
25         divide(x);
26         cout << endl;
27     }
28     return 0;
29 }

 

posted @ 2020-07-31 22:01  haust_fx  阅读(922)  评论(4编辑  收藏  举报