数学备忘录

//数学备忘录

//数学

//素数

//判定素数
​
bool Is_prime(int n)
{
    if(n==1) return false;
    if(n==2||n==3) return true;
    if(n%6!=1&&n%6!=5) return false;
    for(register int i=5;i*i<=n;i+=6)
        if(n%i==0||n%(i+2)==0) return false;
    return true;
}

//素数线性筛
const int MAXN=1e5+100;//MAXN<=n
int check[MAXN];//标记合数 
int prime[MAXN];//存放筛出的素数   不超过N的质数约有N/ln N个 
​
void getprime(int n)//线性筛出2~n范围内的素数 
{
    //memset(check,0,sizeof(check));
    // for(int i=0;i<=n;i++) check[i]=0;
     check[0]=check[1]=1;
    int tot=0;//记录素数的个数 
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(check[i]==0) prime[++tot]=i;
        
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(i*prime[j]>n) break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
 } 

//埃式素数筛
const int MAXN=1e5+100;
int prime[MAXN];   //存放筛出的素数 不超过N的质数约有N/ln N个 
int check[MAXN];   //标记合数 
void find_prime(int n)
{
    //memset(check,1,sizeof(check)); 
    //for(int i=0;i<=n;i++) check[i]=0;
    //check[0]=check[1]=1;
    
    int tot=0;
​
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(check[i]==0){
            prime[++tot]=i;
            for(int j=2*i;j<=n;j+=i) check[j]=1;
        }
    }
}
​

//质因数分解，只适合比较小的数
const int MAXN=1e5+100;
int p[MAXN];
int c[MAXN];
void divide(int n)
{
    int m=0;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0){
            p[++m]=i,c[m]=0;
            while(n%i==0) n/=i,c[m]++;
        }
    }
    if(n>1) p[++m]=n,c[m]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++) cout<<p[i]<<'^'<<c[i]<<endl;
    
 } 

//区间素数筛法
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int MAXN=1e5+100;
const int MAXX=1e6+100;
typedef long long LL;
int check[MAXN];
int prime[MAXN];
int vis[MAXX];
int tot;
void getprime(int n)//线性素数筛，筛出 2-sqrt(r)范围内的素数，（任何一个合数n必定包含一个不超过sqrt(n)的质因子） 
{
    memset(check,0,sizeof(check));
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(check[i]==0) prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(i*prime[j]>n) break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    getprime(1e5);
    
    LL l,r;
     
    while(~scanf("%lld %lld",&l,&r)){
        memset(vis,0,sizeof(vis));//对于区间内的，能够被所筛出的素数整除的剔除 
        for(int i=1;i<=tot;i++){
            LL a=(l+prime[i]-1)/prime[i];
            LL b=r/prime[i];
            for(int j=max(2,a);j<=b;j++) vis[j*prime[i]-l]=1;
        }
        
        if(l==1) vis[0]=1;//特判断区间左端为1的情况 
        //当前已经把区间中的合数全被筛完了剩下的就是区间里的素数 
        /* 
        LL cnt=-1,maxx=0,maxa=0,maxb=0,minn=1e6+100,mina=0,minb=0;
        for(int i=r-l;i>=0;i--){
            if(vis[i]==0){
                if(cnt!=-1){
                    int d=cnt-(l+i);
                    if(d>=maxx){
                        maxa=l+i;
                        maxb=cnt;
                        maxx=d;
                    }
                    if(d<=minn){
                        mina=l+i;
                        minb=cnt;
                        minn=d;
                    }
                }
                cnt=i+l;
            }
        }
        
        if(maxa&&maxb&&mina&&minb){
            cout<<mina<<","<<minb<<" are closest, "<<maxa<<","<<maxb<<" are most distant."<<endl;
        }else{
            cout<<"There are no adjacent primes."<<endl;
        }*/ 
    }
    
    
    return 0;
}

//阶乘分解
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int MAXN=1e6+100;
int prime[MAXN];
int check[MAXN];
int tot=0;
typedef long long LL;
void getprime(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(check[i]==0) prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(i*prime[j]>n) break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
void solve(int n)
{
    int cnt=0;
    
    for(int i=1;i<=tot;i++){//对于每一个质数 
        cnt=0;
        for(LL j=prime[i];j<=n;j*=prime[i])//保证每一个数中的p都除尽 
            cnt+=n/j;
        printf("%d %d\n",prime[i],cnt); 
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    
    getprime(n);
    solve(n);
    
    return 0;
 } 

//约数

//求N的正约数集合
//试除法
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
LL n;
void factor(LL n)
{
    for(int i=1;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            printf("%d ",i);
            if(i!=n/i) printf("%d ",n/i);
        }
    }
    return ;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    
    factor(n);
    
    return 0;
}
//倍数法
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
const int MAXN=5e5+100;
typedef long long LL;
vector<LL> factor[MAXN]; 
void factor1(LL n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n/i;j++){
            factor[i*j].push_back(i);
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<factor[i].size();j++){
            printf("%lld ",factor[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return ;
}
LL n;
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    
    factor1(n);
    
    return 0;
 } 

//dfs求分解质因数    原题：反素数
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
int n;
LL ans=2e9+100,cnt=0;
int prime[20]={1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
LL ccnt[20];
void dfs(int id,LL now)
{
    if(id==11){
        int cnt1=1;
        for(int i=1;i<=10;i++) cnt1*=(ccnt[i]+1);/**/
        if(cnt1>cnt){
            cnt=cnt1;
            ans=now;
        }else if(cnt1==cnt&&ans>now){/**/
            ans=now;
        }
        return ;
    }
    
    ccnt[id]=0;dfs(id+1,now);//对当前的质数不用来做约数 
    for(int i=1;i<=30;i++){
        now=now*prime[id];
        if(now>n) break;
        ccnt[id]=i;
        dfs(id+1,now);//在当前的基础上，再用别的质数做约数 
    }
    
    return ;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    dfs(1,1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

//互质与欧拉函数

//欧拉函数
int phi(int n)
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);

    return ans;
}
//埃式筛法求欧拉函数
int phi[MAXN];
void solvephi(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(phi[i]==i){
            for(int j=i;j<=n;j+=i){
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
    return ;
}
//线性筛法求欧拉函数
int check[MAXN];
int prime[MAXN];
int phi[MAXN];
void solvephi(int n)
{
    check[0]=check[1]=1;
    int tot=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(check[i]==0){
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(i*prime[j]>n) break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
}

//求一个数的三分之一次
LL third(LL n){
    LL l=1,r=(LL)pow(n*1.0, 1.0 / 3) + 1,mid;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>1;
        //cout<<"l="<<l<<" mid="<<mid<<" r="<<r<<endl; 
        if(mid*mid*mid==n) return mid;
        else if(mid*mid*mid>n) r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    return -1;
}