动态规划问题----国王和金矿

问题：

有一个国家发现了5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人数也不同。参与挖矿工人的总数是10人。

每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金矿。要求用程序求解出，要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？

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动态规划有三个核心元素：最优子结构、边界、状态转移 方程式。

该问题中要求10个工人5个金矿，挖最多黄金的选择。因此最优子结构有两种情况：

1. 10个工人4个金矿时，挖出最多黄金的选择。
2. 4金矿，工人数：10-最后一个金矿需要的人数。

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我们把金矿数量设为n，工人数设为m，金矿的黄金量设为g[]，金矿的用工量设为数组p[],该问题中，各数据如下所示：

n=5,    m=10,    g = [400,500,200,300,350],    p = [5,5,3,4,3]

那么5座金矿和4做金矿的最优选择之间存在这样的关系：F(5,10) = MAX(F(4,10),F(4,10-P[4]+G[4]))

现在给出边界，也就是金矿数量n为1时：

当n=1，m>=p[0]时，F(n,m) = g[0];

当n=1，m<p[0]时，F(n,m) = 0;

使用格子推导出所有的情况：

 

 

 

对某一情况进行分析，如F(3,8)，其结果就是MAX(F(2,8),F(2,8-P[3]) + G[3]) = 700

 

状态转移方程：

F(n,m) = 0 (n<=1,m<p[0]);

F(n,m) = g[0](n==1,m>=p[0]);

F(n,m) = F(n-1,m)(n>1,m<p[n-1]);

F(n,m) = max(F(n-1,m), F(n-1,m-p[n-1])+g[n-1])(n>1,m>=p[n-1]);

 

js代码如下：

//n:金矿数量       m:工人数量      g:获得金额数组       p:需要工人数组

                  function getMostGold(n,m,g,p){

                        var preResults = [];

                        var results = [];

                        for(var i = 0; i <= m; i++){

                              if(i < p[0]){

                                    preResults[i] = 0;

                              }else{

                                    preResults[i] = g[0];

                              }

                        }

                        for(var t = 0;t < preResults.length; t++){

                              results[t] = preResults[t];

                        }           

                        if(n == 1){

                              return results[m];

                        }

                        for(var i = 1;i < n; i++){

                              for(var j = 0; j <= m; j++){

                                    if(j < p[i]){

                                          results[j] = preResults[j];

                                    }else{

                                          //实际上就是管不管最后一个金矿的问题

                                          results[j] = Math.max(preResults[j],preResults[j-p[i]] + g[i]);                                        

                                    }

                              }

                              console.log(results);

                              for(var t = 0;t < preResults.length; t++){

                                    preResults[t] = results[t];

                              }

                        }

                        return results[m];             

                  }

                  var g = [400,500,200,300,350];

                  var p = [5,5,3,4,3];

                  console.log(getMostGold(5,10,g,p));

 其中需要注意的是，js中数组拷贝需要使用深拷贝，使用浅拷贝（preResults = results）会产生数据问题。

原文链接如下：http://www.sohu.com/a/153858619_466939