【十大经典数据挖掘算法】Apriori

【十大经典数据挖掘算法】系列

  1. C4.5
  2. K-Means
  3. SVM
  4. Apriori
  5. EM
  6. PageRank
  7. AdaBoost
  8. kNN
  9. Naïve Bayes
  10. CART

1. 关联分析

关联分析是一类非常有用的数据挖掘方法,能从数据中挖掘出潜在的关联关系。比如,在著名的购物篮事务(market basket transactions)问题中,

TID Iterms
1 {Bread, Milk}
2 {Bread, Diapers, Beer, Eggs}
3 {Milk, Diapers, Beer, Cola}
4 {Bread, Milk, Diapers, Beer}
5 {Bread, Milk, Beer, Cola}

关联分析则被用来找出此类规则:顾客在买了某种商品时也会买另一种商品。在上述例子中,大部分都知道关联规则:{Diapers} → {Beer};即顾客在买完尿布之后通常会买啤酒。后来通过调查分析,原来妻子嘱咐丈夫给孩子买尿布时,丈夫在买完尿布后通常会买自己喜欢的啤酒。但是,如何衡量这种关联规则是否靠谱呢?下面给出了度量标准。

支持度与置信度

关联规则可以描述成:项集 → 项集。项集\(X\)出现的事务次数(亦称为support count)定义为:

\[ \sigma (X) = |t_i|X \subseteq t_i, t_i \in T| \]

其中,\(t_i\)表示某个事务(TID),\(T\)表示事务的集合。关联规则\(X \longrightarrow Y\)的支持度(support):

\[ s(X \longrightarrow Y) = \frac{\sigma (X \cup Y)}{|T|} \]

支持度刻画了项集\(X \cup Y\)的出现频次。置信度(confidence)定义如下:

\[ s(X \longrightarrow Y) = \frac{\sigma (X \cup Y)}{\sigma (X)} \]

对概率论稍有了解的人,应该看出来:置信度可理解为条件概率\(p(Y|X)\),度量在已知事务中包含了\(X\)时包含\(Y\)的概率。

对于靠谱的关联规则,其支持度与置信度均应大于设定的阈值。那么,关联分析问题即等价于:对给定的支持度阈值min_sup、置信度阈值min_conf,找出所有的满足下列条件的关联规则:

\begin{aligned}
& 支持度 >= min\_sup \cr
& 置信度 >= min\_conf \cr
\end{aligned}

把支持度大于阈值的项集称为频繁项集(frequent itemset)。因此,关联规则分析可分为下列两个步骤:

  • 生成频繁项集\(F=X \cup Y\)
  • 在频繁项集\(F\)中,找出所有置信度大于最小置信度的关联规则\(X \longrightarrow Y\)

暴力方法

若(对于所有事务集合)项的个数为\(d\),则所有关联规则的数量:

\[ \begin{aligned} & \sum_{i}^d C_d^i \sum_{j}^{d-i} C_{d-i}^j \cr = & \sum_{i}^d C_d^i ( 2^{d-i} -1) \cr = & \sum_{i}^d C_d^i * 2^{d-i} - 2^d + 1 \cr = & (3^d - 2^d) - 2^d +1 \cr = & 3^d - 2^{d+1} + 1 \end{aligned} \]

如果采用暴力方法,穷举所有的关联规则,找出符合要求的规则,其时间复杂度将达到指数级。因此,我们需要找出复杂度更低的算法用于关联分析。

2. Apriori算法

Agrawal与Srikant提出Apriori算法,用于做快速的关联规则分析。

频繁项集生成

根据支持度的定义,得到如下的先验定理:

  • 定理1:如果一个项集是频繁的,那么其所有的子集(subsets)也一定是频繁的。

这个比较容易证明,因为某项集的子集的支持度一定不小于该项集。

  • 定理2:如果一个项集是非频繁的,那么其所有的超集(supersets)也一定是非频繁的。

定理2是上一条定理的逆反定理。根据定理2,可以对项集树进行如下剪枝:

项集树共有项集数:\(\sum_{k=1}^d k \times C_{d}^k = d \cdot 2^{d-1}\)。显然,用穷举的办法会导致计算复杂度太高。对于大小为\(k-1\)的频繁项集\(F_{k-1}\),如何计算大小为\(k\)的频繁项集\(F_k\)呢?Apriori算法给出了两种策略:

  1. \(F_k = F_{k-1} \times F_1\)方法。之所以没有选择\(F_{k-1}\)与(所有)1项集生成\(F_k\),是因为为了满足定理2。下图给出由频繁项集\(F_2\)\(F_1\)生成候选项集\(C_3\)

  2. \(F_k = F_{k-1} \times F_{k-1}\)方法。选择前\(k-2\)项均相同的\(f_{k-1}\)进行合并,生成\(F_{k-1}\)。当然,\(F_{k-1}\)的所有\(f_{k-1}\)都是有序排列的。之所以要求前\(k-2\)项均相同,是因为为了确保\(F_k\)\(k-2\)项都是频繁的。下图给出由两个频繁项集\(F_2\)生成候选项集\(C_3\)

生成频繁项集\(F_k\)的算法如下:

关联规则生成

关联规则是由频繁项集生成的,即对于\(F_k\),找出项集\(h_m\),使得规则\(f_k-h_m \longrightarrow h_m\)的置信度大于置信度阈值。同样地,根据置信度定义得到如下定理:

定理3:如果规则\(X \longrightarrow Y-X\)不满足置信度阈值,则对于\(X\)的子集\(X'\),规则\(X' \longrightarrow Y-X'\)也不满足置信度阈值。

根据定理3,可对规则树进行如下剪枝:

关联规则的生成算法如下:

3. 参考资料

[1] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.

posted @ 2016-07-29 17:36  Treant  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏