【十大经典数据挖掘算法】kNN

【十大经典数据挖掘算法】系列

  1. C4.5
  2. K-Means
  3. SVM
  4. Apriori
  5. EM
  6. PageRank
  7. AdaBoost
  8. kNN
  9. Naïve Bayes
  10. CART

1. 引言

顶级数据挖掘会议ICDM于2006年12月评选出了数据挖掘领域的十大经典算法:C4.5, k-Means, SVM, Apriori, EM, PageRank, AdaBoost, kNN, Naïve Bayes与 CART。 以前看过关于这些数据挖掘算法,但对背后数学原理未做过多探究,因而借此整理以更深入地理解这些算法。

本文讨论的kNN算法是监督学习中分类方法的一种。所谓监督学习与非监督学习,是指训练数据是否有标注类别,若有则为监督学习,若否则为非监督学习。监督学习是根据输入数据(训练数据)学习一个模型,能对后来的输入做预测。在监督学习中,输入变量与输出变量可以是连续的,也可以是离散的。若输入变量与输出变量均为连续变量,则称为回归;输出变量为有限个离散变量,则称为分类;输入变量与输出变量均为变量序列,则称为标注[2]。

2. kNN算法

kNN算法的核心思想非常简单:在训练集中选取离输入的数据点最近的k个邻居,根据这个k个邻居中出现次数最多的类别(最大表决规则),作为该数据点的类别。

算法描述

训练集\(T = \lbrace (x_1,y_1),(x_2,y_2), \cdots ,(x_N,y_N) \rbrace\),其类别\(y_i \in \lbrace c_1,c_2, \cdots ,c_K \rbrace\),训练集中样本点数为\(N\),类别数为\(K\)。输入待预测数据\(x\),则预测类别

\begin{equation}
y = \arg \mathop {\max }\limits_{c_j} \sum\limits_{x_i \in N_k(x)} I(y_i = c_j), i = 1,2, \cdots ,N;  j = 1,2, \cdots ,K
\label{eq:obj}
\end{equation}

其中,涵盖\(x\)的k邻域记作\(N_k(x)\),当\(y_i = c_j\)时指示函数\(I=1\),否则\(I=0\)

分类决策规则

kNN学习模型:输入\(X\),通过学习得到决策函数:输出类别\(Y=f(X)\)。假设分类损失函数为0-1损失函数,即分类正确时损失函数值为0,分类错误时则为1。假如给\(x\)预测类别为\(c_j\),即\(f(X)=c_j\);同时由式子\eqref{eq:obj}可知k邻域的样本点对学习模型的贡献度是均等的,则kNN学习模型误分类率为

\begin{equation}
{1 \over k}\sum\limits_{x_i \in N_k(x)} {I(y_i \ne f(x_i))} = {1 \over k}\sum\limits_{xi \in N_k(x)} {I(y_i \ne c_j)} = 1 - {1 \over k}\sum\limits_{xi \in N_k(x)} {I(y_i = c_j)}
\end{equation}

若要最小化误分类率,则应
\[\mathop {\max }\limits_{{c_j}} \sum\limits_{{x_i} \in {N_k}(x)} I ({y_i} = {c_j})\]

所以,最大表决规则等价于经验风险最小化。

存在问题

k值得选取对kNN学习模型有着很大的影响。若k值过小,预测结果会对噪音样本点显得异常敏感。特别地,当k等于1时,kNN退化成最近邻算法,没有了显式的学习过程。若k值过大,会有较大的邻域训练样本进行预测,可以减小噪音样本点的减少;但是距离较远的训练样本点对预测结果会有贡献,以至于造成预测结果错误。下图给出k值的选取对于预测结果的影响:

前面提到过,k邻域的样本点对预测结果的贡献度是相等的;但距离更近的样本点应有更大的相似度,其贡献度应比距离更远的样本点大。可以加上权值\(w_i = 1/\left\| {x_i - x} \right\|\)进行修正,则最大表决原则变成:
\[\mathop {\max }\limits_{{c_j}} \sum\limits_{{x_i} \in {N_k}(x)} w_i*I ({y_i} = {c_j})\]

3. 参考资料

[1] Michael Steinbach and Pang-Ning Tan, The Top Ten Algorithms in Data Mining.
[2] 李航,《统计学习方法》.

posted @ 2015-11-27 14:42  Treant  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏