积分

定积分

考虑计算函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 的函数曲线与坐标轴围成的有符号面积。

采用划分 \([a, b]\) 区间，用小长方形的面积和来逼近答案求解。

记一个划分 \(P=\{x_1,x_2,\cdots,x_{k_1}\},\ (a<x_1<x_2<\cdots<x_{k-1}<b)\)。

记 \(P\) 的黎曼和 \(S_P=\sum_{i=0}^{k-1}f(c_i)(x_{i+1}-x_i), c_i\in[x_i, x_{i+1}]\)。其中 \(x_0=a, x_{k}=b\)。

记 \(\Vert P\Vert =\max_{i=0}^{k-1}(x_{x+1}-x_i)\)。

定义函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的定积分

\[J=\lim_{\Vert P\Vert\to 0}S_P \]

当 \(J\)（该极限）存在，定积分存在，称 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 黎曼可积。

函数在 \([a, b]\) 上的定积分被记作

\[\int_{a}^{b}f(x)dx \]

注意标准的定积分定义由 闭区间 上的黎曼和给出。开区间或半开区间的积分被称作反常积分，其是一种对定积分定义的扩展。

定积分的运算性质

\[\begin{align*} &\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx \\ &\int_{a}^{a}f(x)dx=0 \\ &\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx \\ &\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx \\ &\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx \\ &\min_{a\le x\le b}f(x)(b-a) \le \int_{a}^{b}f(x)dx\le \max_{a\le x\le b}f(x)(b-a) \end{align*} \]

函数平均值，定积分中值定理，积分上限函数

\(f(x)\) 在 \([a, b]\) 的平均值

\[av(f)\ on\ [a, b]=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a} \]

定积分中值定理：

若函数 \(f\) 在 \([a, b]\) 连续，则 \(\exists c\in [a, b],\ f(c)=av(f)\ on\ [a, b]\)。

证明：

由定积分的运算性质

\[\min_{a\le x\le b}f(x)(b-a) \le \int_{a}^{b}f(x)dx\le \max_{a\le x\le b}f(x)(b-a) \]

得到 \(\min_{a\le x\le b}f(x)\le av(f)\le \max_{a\le x\le b}f(x)\)。

由连续函数的最大值最小值定理，\(f(x)\) 在 \([a, b]\) 中可以取到最大值和最小值。

由介值定理，最大值点到最小值点间（包括端点）的点可以取到最大值到最小值的所有取值。

积分上限函数：

\[F(x)=\int_{a}^{x}f(x)dx \]

微积分基本定理

Part 1

当 \(F(x)\) 为一个积分上限函数，

\[F(x)=\int_{a}^{x}f(x)dx \]

且被积函数 \(f\) 连续，有

\[F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(x)dx=f(x) \]

证明：

\[\begin{align*} F'(x)&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} \\ &=\frac{\int_{x}^{x+\Delta x}f(x)dx}{\Delta x} \end{align*} \]

根据微积分中值定理，\(\displaystyle \exists c\in[x,x+\Delta x],f(c)=\frac{\int_{x}^{x+\Delta x}f(x)dx}{\Delta x}\)。

又 \(f(x)\) 连续，故 \(\lim_{c\to x}f(c)=f(x)\)。

证毕。

Part 2 (also the Newton-Leibniz formula)

当函数 \(f\) 在 \([a, b]\) 连续，则对任意 \(F\) 满足 \(F'(x)=f(x)\)（称为 \(f\) 的原函数）有：

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) \]

证明：

0. Part 1

1. 积分上限函数是 \(f\) 的一个原函数。

2. 任意原函数之间只相差一个常数。

不定积分与原函数表

\(f\) 所有原函数的集合被称为 \(f\) 的不定积分。

记作

\[\int f(x)dx=F(x)+C \]

下为原函数表

\(f(x)\)	\(\int f(x)dx\)
\(x^n\)	\(\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C,n\neq -1\)
\(\sin kx\)	\(\frac{-1}{k}\cos kx+C\)
\(\cos kx\)	\(\frac{1}{k}\sin kx+C\)
\(\sec^{2} kx\)	\(\frac{1}{k}\tan kx+C\)
\(\csc^{2} kx\)	\(\frac{-1}{k}\cot kx+C\)
\(\sec kx\tan kx\)	\(\frac{1}{k}\tan kx+C\)
\(\csc kx\cot kx\)	\(\frac{-1}{k}\cot kx+C\)

换元积分

\[\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du,\ (u=g(x)) \]

定积分换元：

\[\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du,\ (u=g(x)) \]