母函数与排列组合

                      母函数与排列组合

  在谈论母函数问题之前,我们先看一个简单的问题描述:假如有两组数据(A,B)和(C,D),每组中选出一个构成一个组合,总共有几种选法?很显然总共有4种选法:AC,AD,BC,BD。而且很容易联想到这个式子(A+B)*(C+D)=A*C+A*D+B*C+B*D。式子中的几个乘积项就是上面的4种选法。假如把问题换一下:每组中选出一个或0个数据构成组合,总共有几种组合?那么结果就变成:{空},A,B,C,D,AC,AD,BC,BD,而式子(1+A+B)*(1+C+D)=1+C+D+A+A*C+A*D+B+B*C+B*D,正好和上面组合的结果又一致(1代表什么都没选)。从这2个例子我们可以发现多项式乘积和组合存在着某种关系。事实上我们可以这么理解:(1+A+B)可以理解为从第一组数据中取0个数据,取A或者取B,同样(1+C+D)可以理解为从第二组数据取0个数据,取C或者取D。两者相乘的结果就表示了所有的组合。再看一下这个多项式:

  (1+x)*(1+x+x2)*(1+x3)=1+2x+2x2+2x3+2x4+2x5+x6

  这个多项式和上面的有一些区别了,它的幂级数超过1了。如果要从(1+x)、(1+x+x2)和(1+x3)中得到x的2次方的话,有两种选择:从(1+x)和(1+x+x2)中分别选择一个x或者从(1+x+x2)中选择x2;如果要得到x的6次方的话,只有1种选择,就是从(1+x)中选择x、(1+x+x2)中选择x2、(1+x3)中选择x3。也就是说乘积结果的每一项anxn的前面的系数an表示了从(1+x)、(1+x+x2)和(1+x3)中得到xn的组合数。

  其实上面的例子就利用了母函数的思想,下面来具体讨论一下母函数。

一.什么是母函数

  下面这个对于母函数的描述摘自维基百科:

  在数学中,某个序列 的母函数是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

  也就是说母函数是针对某个序列的,它的外在表现形式是一种形式幂级数。比如说有这样一个序列a0,a1,......an,构造一个函数

  f(x)=a0+a1x+a2x2+......+anxn

  则f(x)是序列a0,a1,......an的母函数。比如说最常见的(1+x)n,它是序列C(n,0),C(n,1),C(n,2)...C(n,n)的母函数。

  母函数包括几种,其中最常见的是普通型母函数和指数型母函数。普通型母函数是形如 f(x)=a0+a1x+a2x2+......+anxn的函数,而指数型母函数是形如G(x) = a0 + a1*(x)/1! + a2*(x2)/ 2! + a3*(x3)/3! + …… an*(xn)/k!的函数。

二.利用普通型母函数解决组合问题

 利用母函数的思想可以解决很多组合问题,下面举例说明:

 1.口袋中有白球2个,红球3个,黄球1个,从袋中摸出3个球有几种取法?

    和上面描述的例子类似,我们可以用次数代表球的个数,多项式的每一项前面的系数代表取法的种树。

  可以很容易地写出下面这个式子:

  (1+x+x2)(1+x+x2+x3)(1+x)

   (1+x+x2)表示有白球2个,1表示白球不取,x代表取1个白球,x2代表取2个白球,即用x的次数表示取球的个数,后面的也是类似。那么这个多项式的乘积就把所有的情况都表示出来了,对于最终乘积的每一项anxn,表示取n个球有an种取法。

    2.有若干个1克,2克,5克的砝码,要称出20克的重量,有多少种称法?

  这里不限制砝码的个数,无所谓,照样写出母函数:

  (1+x+x2+x3+......xk+....)(1+x2+x4+x6......+x2n+......)(1+x5+x10+......x5m+......)

  因为要称出20克,所以只需要找找到结果中次数为20 的那一项就可以得到结果。

    3.同样对于正数划分也可以解决,比如有整数20,划分成1,2,5,有多少种划分方法?

  解法和2的类似。

     还有一类题目和这类似,有n个球放到m个盒子中,有多少种不同的放法?

    (1+x+x2+x3+...xk+...)(1+x+x2+x3+...xk+...)(1+x+x2+x3+...xk+...)总共有m项,然后找出乘积中次数为n的那一项系数。

三.利用指数型母函数解决排列问题

  1.口袋中有白球2个,红球3个,黄球1个,任取3个作为一个排列,总共有多少种排列?

  类似地用指数型母函数解决

  用(1+x/1!+x2/2!)表示取白球0个,1个或者2个

  那么(1+x/1!+x2/2!)(1+x/1!+x2/2!+x3/3!)(1+x/1!)来表示所有的排列结果。

   =1+3x+4x2+19x3/6+19x4/12+6x5/12+x6/12

   =1+3*(x/1!)+8*(x2/2!)+19*(x3/3!)+38*(x4/4!)+60*(x5/5!)+60*(x6/6!)

  找到次数为3的那一项,系数为19,那么总共有19种排列。

  2.用1,2,3,4能够组成多少个5位数,要求1出现2次或者3次,2出现0次或者1次,3没有限制,4只出现偶数次。

  (x2/2!+x3/3!)(1+x)(1+x/1!+x2/2!+x3/3!+.....xk/k!+....)(1+x2/2!+x4/4!+......+x2n/(2n)!+......)

   每个式子的含义就不多解释了,读者应该能看懂它的含义。最终的结果就是x5/5!这一项的系数。

  用代码去实现母函数的计算过程很简单,它是模拟我们人工计算多项式乘积的过程,比如有多项式H1*H2*H3......

  我们先计算H1和H2的乘积,得到结果H',再用H'和H3相乘......依次类推下去,直到得到最终的结果。

下面这道题目是航电上的一道题:

题目意思是有1分,2分,5分的硬币各a,b,c枚,求算不能组成的总钱数的最小值。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

#include <iostream>
using namespace std;


int main(int argc, char *argv[])
{
    int num[3];
    int cent[3]={1,2,5};          //次数增长步长 
    while(scanf("%d %d %d",&num[0],&num[1],&num[2]) != EOF)
    {
        if(num[0]==0&&num[1]==0&&num[2]==0)
            break;
        int i,j,k;
        int c[8001],tempC[8001];     //因为三种硬币最多1000枚,1*1000+2*1000+5*1000=8000,那么多项式乘积的最高次数为8000 
                                     //c保存累计相乘各项的系数,tempC保存c和当前项相乘的系数 
                                           //c[i] 表示次数为i的那一项的系数
                                      
         int max=num[0]+2*num[1]+5*num[2];   //求出该组输入条件下的最高次数 
        
         for(i=0;i<=8001;i++)   
         {
            c[i]=0;
            tempC[i]=0;
         }
        
        
        //母函数为(1+x+x^2+...x^num[0])(1+x^2+x^4+....x^2*num[1])(1+x^5+x^10+...+x^5*num[2]) 
        for(i=0;i<=cent[0]*num[0];i+=cent[0])   //第一个多项式的系数初始化 
        {
            c[i]=1;
        }
        
        for(i=1;i<3;i++)    //i表示总共有多少个多项式 
        {
            for(j=0;j<=max;j++)    //累计相乘的x^j的系数 
            {
                for(k=0;k+j<=max && k<=cent[i]*num[i];k+=cent[i])   //当前项x^k的系数 
                {
                    tempC[k+j]+=c[j];   //x^j * x^k=x^(j+k)
                }
            }
            
            for(j=0;j<=max;j++)    //将临时数组清零 
            {
                c[j]=tempC[j];
                tempC[j]=0;
            }
        }
        
        for(i=0;i<=max;i++)
        {
            if(c[i]==0)
                break;
        }
        printf("%d\n",i);
    }
    return 0;
}
posted @ 2012-11-07 21:14  Matrix海子  阅读(7355)  评论(0编辑  收藏