二分查找 Binary Search
二分查找（Binary Search）
二分查找也称折半查找（Binary Search），相对于普通的顺序查找，二分查找具有极好的效率。
使用条件：要求线性表必须采用 顺序存储结构 ，而且表中元素按关键字 有序排列 。
时间复杂度：$ \Theta(logn) $
查找过程：
首先，假设表中元素是按升序排列。
将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；
否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。
重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。
手写二分查找
int Binary_search(int x,int from,int to)
{
int l=from,r=to,mid=0;
//a数组是升序，查找区间从from开始，到to结束。
while(l<=r)
{
int mid=l+( (r-l)>>1 );/*注*/
if(a[mid]>x)//中值大于所求值，所求值在左边。
r=mid-1;
else if(a[mid]<x)//中值小于于所求值，所求值在右边。
l=mid+1;
else
return mid;
}
return -1;
//找不到返回-1.
}
注：
使用$ (l+r)/2$ 或是 $l+r>>1 \(会有**整数溢出的问题**。
即：\)l+r$ 的结果有可能大于表达式结果类型所能表示的最大值，
这样，产生溢出后再/2是不会产生正确结果的，而 \(l+(r-l)/2\)
不存在这个问题。
关于二分查找的两个 STL 模板：
binary_search：二分查找函数。一般格式：（开始位置，结束位置，要找的元素）。如果能找到，返回"true"，否则，返回"false"。
lower_bound：前者只能判断数是否存在。并不能返回数的位置。lower_bound，找出第一个大于等于指定数的位置（迭代器）。如果没有找到，返回最后一个数据的后一个位置。
测评地址：P2249 【深基13.例1】查找
手写：
#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 1000005
int a[MAXN];
int main()
{
int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int l=1,r=n,x; scanf("%d",&x);
//二分部分
while(r>=l)//= //=即 子区间还有一个。
{
int mid=l+( (r-l)>>1 );//(l+r)/2
/*注1*/
if(a[mid]<x)l=mid+1;
else r=mid-1;
//这里从题目而言，是为了保证是第一个出现的位置。
//所以说如果是a[mid] == x，那么，它会继续往左压，保证是第一个出现。
}
if(a[l]==x) printf("%d ",l);
//l或r都可以
else printf("-1 ");
}
return 0;
}
STL模板：
#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 1000005
int a[MAXN];
int main()
{
int n,m; std::scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i) std::scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int x; std::scanf("%d",&x);
int j=std::lower_bound(a+1,a+n+1,x)-a;
//指针减，得到下标
if(a[j]!=x) std::printf("-1 ");
else std::printf("%d ",j);
}
return 0;
}
手写二分的测评结果：
lower_bound的测评结果：
对比可以看出，手写二分的时间是略快于lower_bound的。说明lower_bound的时间复杂度常数较大。
但lower_bound的代码相对于手写二分简单。两者各有利弊。
做题感悟：
- 题目中常常出现的是运用二分查找的思想，灵活变通的运用二分，并不是简简单单的查找数值，所以要熟练的掌握手写二分。
