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【三角学】三角恒等变换公式推导

原文链接:https://www.cnblogs.com/ctjcalc/p/post4.html

三角恒等变换是高中的一个重要的知识,我是在预习时通过自己的方法推导了一遍,个人认为,这样可以加深对其的理解。本文同时也作为一篇学习笔记。

和与差角公式推导

差角的余弦公式推导

差角的余弦公式是三角恒等变换的一系列公式的基础,推导出它,就为接下来的推导铺平了道路。这里使用向量,而不是普通的几何方法。以下为推导过程。

设在平面直角坐标系$xOy$中,有角$\alpha , \beta$,其始边均与$Ox$重合。 设$\overrightarrow{OA}=(\cos\alpha,\sin\alpha),\overrightarrow{OB}=(\cos\beta,\sin\beta),\theta=<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}>$ 如图1,若$\alpha>\beta$,则$\alpha=2k\pi+\beta+\theta,k \in \mathbb{Z}$;如图2,若$\alpha<\beta$,则$\alpha=2k\pi+\beta-\theta,k\in\mathbb{Z}$。(图中未标出$\alpha,\beta$) ![图1](https://i.loli.net/2019/12/27/3oyBWHlvkD2AMfi.png) ![图2](https://i.loli.net/2019/12/27/IPWRAwOSUYeo218.png) 所以对于任意的$\alpha$和$\beta$,都有$\alpha-\beta=2k\pi\pm\theta,k\in\mathbb{Z}$。 所以 $$ \cos(\alpha-\beta)=\cos(2k\pi\pm\theta)=\cos(\pm\theta)=\cos\theta,k\in\mathbb{Z} $$ 所以 $$ \begin{align} \cos(\alpha-\beta)&=\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} \\ &=\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{(\cos^{2} \alpha+\sin^{2} \alpha)(\cos^{2} \beta+\sin^{2} \beta)} \\ &= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{align} $$ 即 $$ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta $$ ## 和角的余弦公式推导 可以根据$C_{(\alpha-\beta)}$,得到$C_{(\alpha+\beta)}$(根据诱导公式$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$和$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$得到)。以下为推导过程。 根据$C_{(\alpha-\beta)}$,易得 $$ \begin{align} \cos(\alpha+\beta)&=\cos[\alpha-(-\beta)] \\ &=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) \\ &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \end{align} $$

总结一下,和与差的余弦公式可以写成这样:

\[C_{(\alpha\pm\beta)}:\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \]

和与差的正弦公式推导

根据诱导公式\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\),即可进行转化。

\[\begin{align} \sin(\alpha-\beta)&=\cos[(\frac{\pi}{2}-\alpha)+\beta] \\ &=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\beta-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin\beta \\ &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta)&=\sin[\alpha-(-\beta)] \\ &=\sin\alpha\cos(-\beta)-cos\alpha\sin(-\beta) \\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \end{align} \]

总结一下,可以写成:

\[S_{(\alpha\pm\beta)}:\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \]

和与差的正切公式推导

根据商数关系,即\(\tan\alpha=\frac{\alpha}{\beta}\),再利用之前推导的公式,就可以推导了。

\[\begin{align} \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\ &=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} \\ &=\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta)&=\tan[\alpha-(-\beta)] \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)} \\ &=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \\ \end{align} \]

所以

\[T_{(\alpha\pm\beta)}:\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} \]

# 倍角公式推导 > 在本文中,**倍角特指二倍角,其他的$n$倍角中的$n$不能省略。**

其实很简单,根据前面的和角的公式,把\(2\alpha\)\(\alpha+\alpha\)代入即可。

\[\begin{align} \sin 2\alpha&=\sin(\alpha+\alpha) \\ &=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha \\ &=2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos 2\alpha&=\cos(\alpha+\alpha) \\ &=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha \\ &=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ \tan 2\alpha&=\tan(\alpha+\alpha) \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha} \\ &=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha} \\ \end{align} \]

特别的,倍角的余弦公式还可以转化为仅用一个函数名表示:

\[\begin{align} \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=\cos^{2} \alpha-1+\cos^{2} \alpha \\ &=2\cos^{2} \alpha-1 \\ \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=1-\sin^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=1-2\sin^{2} \alpha \\ \end{align} \]

# 总结 这些公式可以用一个表格概括:
三角函数 \(\alpha\pm\beta\) \(2\alpha\)
\(\sin\) \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\) \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
\(\cos\) \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\) \(\cos 2\alpha=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ =2\cos^{2} \alpha-1\\ =1-2\sin^{2} \alpha\)
\(\tan\) \(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\) \(\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha}\)
posted @ 2019-12-26 21:34  ctjcalc  阅读(...)  评论(...编辑  收藏