BZOJ2440/洛谷P4318 [中山市选2011]完全平方数 莫比乌斯函数

题意:找到第k个无平方因子数。

解法:这道题非常巧妙的运用了莫比乌斯函数的性质!

解法参考https://www.cnblogs.com/enzymii/p/8421314.html这位大佬的。这里我说下自己的理解:

首先看到K这么大,想到可能要二分答案。那么我们二分答案M,问题就变成计算<=M的数有多少个无平方因子数。

我们考虑这样一个算法:枚举<=M的每一个无平方因子数,然后枚举它的倍数将其去掉。但是这个方法有一个问题就是会重复删除,例如一个数 2*3*5 ,他会被2/3/5分别删除一次,然后又会被2*3/2*5/3*5删除(等等)......处理这种重复问题我们一般会采用容斥原理。

于是我们想办法  -一个因子倍数+两个因子倍数-三个因子倍数.......   ; 想上诉的2*3*5, -(2/3/5)+(2*3/2*5/3*5)-(2*3*5)=  -1  。这样我们就解决了重复问题!!!

那么再仔细观察这个系数,奇数个质因子的无平方数系数是-1,偶数个质因子的无平方数的系数是1,这不就是莫比乌斯函数!!!

于是我们得到了式子:

 

 

 于是此题可解了:

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long LL;
 4 const int N=1e5+10;
 5 const int Pr=1e5;
 6 int K;
 7 
 8 bool vis[N];
 9 int tot=0,pri[N]; LL mu[N];
10 void prework() {
11     vis[1]=1; mu[1]=1;
12     for (int i=2;i<=Pr;i++) {
13         if (!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
14         for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=Pr;j++) {
15             int k=i*pri[j]; vis[k]=1;
16             if (i%pri[j]==0) {
17                 mu[k]=0; break;
18             }
19             mu[k]=-mu[i];
20         }
21     }
22 }
23 
24 bool check(LL M) {
25     LL i=1,j,ret=0;
26     for (int i=1;i*i<=M;i++) ret+=mu[i]*(M/(i*i));
27     return ret>=K;
28 }
29 
30 int main()
31 {
32     prework();
33     int T; cin>>T;
34     while (T--) {
35         scanf("%d",&K);
36         LL L=1,R=2*K;
37         while (L<R) {
38             LL M=(L+R)/2;
39             if (check(M)) R=M; else L=M+1; 
40         } 
41         printf("%lld\n",R);
42     }
43     return 0;
44 }

 

posted @ 2019-10-09 21:58  Clno1  阅读(99)  评论(0编辑  收藏  举报