一些二项式系数的推导

1 : \(\sum_{i=0}^k{\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}}=\binom{n+m}{k}\)

从意义上理解即可,也就是从数量为\(n\)\(m\)的两个堆中一共选择\(k\)个物品

这两个堆在实际意义上也可以不存在。

2 : \(\sum_{i=1}^{n}{\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}}=\binom{2n}{n-1}\)

证明 :

\(k=n-1\)则由1得 :

\(\sum_{i=0}^{n-1}{\binom{n}{i}\binom{n}{n-1-i}}=\sum_{i=0}^{n-1}{\binom{n}{i}\binom{n}{i+1}}=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}\)

\(\sum_{i=0}^{n-1}{\binom{n}{i}\binom{n}{n-1-i}}=\binom{2n}{n-1}\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}=\binom{2n}{n-1}\)

证毕。

或者是

\(\binom{2n}{n-1}=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}\binom{n}{n-1-i}}=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}\binom{n}{i+1}}=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}\)

其他的一些 :

\(\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}^2}=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}\binom{n}{n-i}}=\binom{2n}{n}\)

\(\sum_{i=0}^m{\binom{n}{i}\binom{m}{i}}=\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{m-i}=\binom{n+m}{m}\)

例题:

\(\href{https://loj.ac/problem/2023}{[AHOI/HNOI2017]抛硬币}\)

其他的一些二项式系数推导的积累:

\[\sum_{k=1}^nk^2\binom{n}{k}=n(n+1)2^{n-2} \]

过程:\(k^2\)转下降幂后暴力展开组合数即可

\[\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}^2=n\binom{2n-1}{n-1} \]

过程:

\[k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}=n\binom{n-1}{n-k} \]

范德蒙德卷积即可。

假设第二类斯特林数强制让每个盒子至少有i个元素定义为\(S_i(n,k)\)

那么有

\[S_i(n,k)= \binom{n-1}{i-1}S_i(n-i,k-1)+kS_i(n-1,k) \]

证明:因为是最后一个球,所以是确定的,只有剩下\(i-1\)个球不确定,需要钦点

对于\(m^n\),有

\[m^n=\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}k!S(n,k)=\sum_{k=0}^mm^{\underline k}S(n,k) \]

证明:考虑给盒子标号且放弃非空限制

如果\(n\)固定,设\(f(k)=k!S(n.k)\)\(g(m)=m^n\),那么就有

\[g(m)=\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}f(k) \]

直接二项式反演,得到:

\[\begin{aligned} f(m)&=\sum_{k=0}^m(-1)^{m-i}\binom{m}{i}g(i)\\ &=\sum_{k=0}^m(-1)^{m-i}\binom{m}{i}i^n=m!S(n,m) \end{aligned} \]

设第一类斯特林数为\(s(n,k)\),有

\[s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k) \]

好像找不到显式表示

\[\binom{n}{i}\binom{n-i}{j-i}\\ \begin{aligned} &=\frac{n^{\underline i}}{i!}\frac{{(n-i+1)}^{\underline {j-i}}}{(j-i)!}\\ &=\frac{n^{\underline i}}{i!}\frac{{(n-i+1)}^{\underline {j-i}}}{(j-i)!}\frac{j^{\underline i}}{j^{\underline i}}\\ &=\frac{n^{\underline j}}{j!}\frac{j^{\underline i}}{i!}\\ &=\binom{n}{j}\binom{j}{i} \end{aligned} \]

这个是不是看起来很眼熟?二项式反演不管是代入验证或者正向推导都要用到。

还有一些,这些基本全是基于范德蒙德卷积的。

\[\binom{n}{k}\binom{k}{j} = \binom{n}{j}\binom{n - j}{k - j} \\ \sum_k(-1)^k\binom{n-k}{m-k}\binom{n}{k}=0 \\ \sum_k\binom{n-k}{n-m}\binom{n}{k}=2^m\binom{n}{m} \\ \sum_{k=0}^n\binom{n+k}{n}2^{-k}=2^n \\ \sum_j\binom{k}{j}\binom{l}{j}\binom{n+k+l-j}{k+l}=\binom{n+k}{k}\binom{n+l}{l} \\ \sum_k\binom{n}{k + j}\binom{m}{k}=\binom{m+n}{m+j} \]

基本全部手玩一下就可以搞出来,不给证明了。

posted @ 2019-10-08 21:38  ComeIntoCalm  阅读(...)  评论(...编辑  收藏