【字符串匹配】KMP

2024-8-28 ·最后更新时间 2024-8-28

\(\Large\mathcal{1,Recommendation}\)
Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为KMP算法，常用于在一个文本串 S 内查找另一个文本 P 的出现位置，因为时间复杂度优异而被广泛使用。

这个算法由 Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris 三人于 1977 年联合发表，故取这 3 人的姓氏命名此算法。

\(\Large\mathcal{2,Prefix\ function}\)
在正式学习 KMP 算法之前我们要对前缀函数有一定的了解。
比如给你一个字符串：\(S=ABADABA\) 。
那么前缀后缀相同时的最长长度是多少？很显然一定 \(3\) \(\color{red}{ABA}\)\(D\)\(\color{red}{ABA}\)。
那么在数学中我们就会给这种形式的数值常用 \(\pi\) 来表示。
那么我们如果把所有 \(S\) 的前缀给列出来，并且对与每个前缀都求出对应的 \(\pi\) 那么就形成了前缀函数，如：

\(i\)	1	2	3	4	5	6	7
\(S\)	\(A\)	\(AB\)	\(ABA\)	\(ABAD\)	\(ABADA\)	\(ABADAB\)	\(ABADABA\)
\(\pi\)	\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)

这就是我们的前缀函数，但是...它和 KMP 有什么关系呢？

\(\Large\mathcal{3,KMP}\)
接下来我就要根据前缀函数来推演出 KMP 算法。
假设文本串 \(S=EACEEABC\)，模式串 \(P=EAB\) 。
考虑什么时候 \(P\) 可以匹配上 \(S\) 的字串。
我们可以这样，先用一个奇妙字符给他们衔接起来就变成了 \(EAB\#EACEEABC\) 。
然后我们就可以轻而易举地根据前缀函数得知，当且仅当 \(\pi_i = len(P)\) 的时候才可以匹配上。
我们可以浅浅证明一下，因为前缀函数的定义就是到了 \(i\)，\(\pi_i\) 为前缀后缀相同时的最长长度，因为有特殊符号所以 \(max\{\pi_i\} = len(P)\) 所以 \(P\) 匹配上时，\(\pi_i=len(P)\)。

\[接下来文中出现的 S 均为一般的字符串 \]

那么接下来的问题就是如何求 \(\pi_i\) 了。
我们可以把字符串想象成一些点，那么就变成了：

那么如果我们现在知道 \(\pi_{i-1}\) 的数值的话：

那么轻而易举地我们可以知道当 \(S_{\pi_{i-1}+1}\) 和 \(S_i\) 相等时 \(\pi_i = \pi_{i-1}+1\)，于是我们可以写出一个不完整的代码：

for(int i=1;i<=s.size();++i){
  int len=pi[i-1];
  if(s[i]==s[len]){
    pi[i]=len+1;
  }
}

BUT 不相等怎么办？那我们是不是尽量考虑次小的 \(\pi_i\)？那我们是不是又可以写出一个代码：

for(int i=1;i<=s.size();++i){
  int len=pi[i-1];
  while(s[i]!=s[len]){
    len=next_pi(i-1);
  }
  if(s[i]==s[len]){
    pi[i]=len+1;
  }
}

接下来我们就要解决 next_pi(x) 这个函数怎么求，我们可以再画一个图：

别问为什么图变了，如果我们仔细观察 \(\pi^{'}_{i-1}\) 和 \(\pi_{i-1}\) 的关系我们可以发现，\([0,\pi^{'}_{i-1}]\) 这段字符串本质上是 \([0，\pi_{i-1}]\) 的一段后缀，又根据前缀函数可知，\([i-\pi^{'}_{i-1}，i-1]\) 一定是与 \([0，\pi^{'}_{i-1}]\) 相等的，所以 \([0，\pi^{'}_{i-1}]\) 是等于 \([0，\pi_{i-1}]\) 的后缀的！也就是 \(\pi^{'}_{i-1}\) 是等同于 \(\pi_{pi_{i-1}}\) 的所以我们终于可以把代码补全了qwq：

for(int i=1;i<=s.size();++i){
  int len=pi[i-1];
  while(len&&s[i]!=s[len]){
    len=pi[len-1];
  }
  if(s[i]==s[len]){
    pi[i]=len+1;
  }
}

那么，如果你完完整整的看完了这篇博客，你可能会觉得这和你印象中的 KMP 不太一样，但是如果你把到 \(\#\) 之前的和之后的单独拆开你会发现这就变成了你熟悉的 KMP，但这也表示着重要的一点，你需要点赞，收藏，关注我qwq。