空间或平面判断两线段相交(求交点)

1. 概述

研究了一些空间计算几何的相关算法,现在对《计算几何》这门科学有了更多的认识。以前,解决空间几何问题都是通过解析几何的角度来解决问题的(高中数学知识),虽然解决思路比较直观,但是很多时候都要付出昂贵的代价,比如精度、效率,以及繁复的判断。而计算几何是通过向量来解决空间几何问题的,可以规避这些问题,使得精度和效率更高。

2. 详论

2.1. 解析几何算法

比如说,在平面中判断两线段相交,我们可以很容易通过解析几何来求解,联立两直线的代数方程:

\[(y-y2)/(y1-y2) = (x-x2)/(x1-x2) \]

然后对这个二元二次方程进行求解。很容易得到相应算法的代码:

//判断两线段相交
bool IsIntersect(double px1, double py1, double px2, double py2, double px3, double py3, double px4, double py4)
{
	bool flag = false;
	double d = (px2 - px1) * (py4 - py3) - (py2 - py1) * (px4 - px3);
	if (d != 0)
	{
		double r = ((py1 - py3) * (px4 - px3) - (px1 - px3) * (py4 - py3)) / d;
		double s = ((py1 - py3) * (px2 - px1) - (px1 - px3) * (py2 - py1)) / d;
		if ((r >= 0) && (r <= 1) && (s >= 0) && (s <= 1))
		{
			flag = true;
		}
	}
	return flag;
}

可以看出这个算法其实并不严密,其实缺少了对一些极端条件的判断,比如与坐标轴平行的情况,两直线平行的情况,还需要做额外的判断。同时用了很多乘法和除法,算法效率并不高。

2.2. 同侧法

这种算法的思想是:如果两条线段相交,那么一条线段的两端点必然位于另一条线段的两端点的异侧。那么问题就可以转换成点是否在一条线段的同侧。同侧判断可以通过向量叉乘的方法来实现,即判断最后叉乘的方向是否相同。

这个算法与平面中判断点在三角形内算法这篇文章介绍的同侧/异侧判断是一样的,我认为算是比较优秀快速的算法了。不过这个算法可以判断定性判断,无法定量判断准确的交点。而且实际使用过程中,似乎精度不太准确(个人实验结论,尤其是位于三角形边上的点)。

2.3. 向量方程法

2.3.1. 原理

已知空间中线段的起点O和终点E,那么显然方向向量D为:

\[D = E - O \]

这时,可以确定线段上某一点P为:

\[P = O + tD \]

其中,t为范围满足\(0<=t<=1\)的标量。

这个方程就是线段上某一点的向量方程。如果要求两线段的交点,很显然可以将两个线段进行联立:

\[\begin{cases} P = O_1 + t_1 D_1 \\ P = O_2 + t_2 D_2 \\ \end{cases} \]

上式-下式,有:

\[t_1 D_1 - t_2 D_2 = O_2 - O_1 = O_{12} \tag{1} \]

在平面上展开,也就是使用X和Y分量:

\[\begin{bmatrix} {D_1.x}&{-D_2.x}\\ {D_1.y}&{-D_2.y}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {t1}\\ {t2}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {O_{12}.x}\\ {O_{12}.y}\\ \end{bmatrix} \]

那么这个问题就转换成了求解2行2列的线性方程组,如果有解,说明存在交点并直接求出。2行2列线性方程组直接使用克莱姆法则求解即可。

2.3.2. 实现

具体的C++实现代码如下:

//空间直线
template <class T>
class LineSegment
{
public:
    Vec3<T> startPoint;
    Vec3<T> endPoint;
    Vec3<T> direction;

    Vec3<T> min;
    Vec3<T> max;

    LineSegment()
    {
    }

    LineSegment(Vec3<T> start, Vec3<T> end)
    {
        startPoint = start;
        endPoint = end;
        direction = end - start;
        CalMinMax();
    }

    inline void Set(Vec3<T> start, Vec3<T> end)
    {
        startPoint = start;
        endPoint = end;
        direction = end - start;
        CalMinMax();
    }

    inline void CalMinMax()
    {
        min.x() = std::min<T>(startPoint.x(), endPoint.x());
        min.y() = std::min<T>(startPoint.y(), endPoint.y());
        min.z() = std::min<T>(startPoint.z(), endPoint.z());

        max.x() = std::max<T>(startPoint.x(), endPoint.x());
        max.y() = std::max<T>(startPoint.y(), endPoint.y());
        max.z() = std::max<T>(startPoint.z(), endPoint.z());
    }

    //两条线段相交
    inline static bool Intersection2D(LineSegment & line1, LineSegment & line2, Vec3<T>& insPoint)
    {
        double D = -line1.direction.x() * line2.direction.y() + line1.direction.y() * line2.direction.x();
        if(D == 0.0)
        {
            return false;
        }

        auto O12 = line2.startPoint - line1.startPoint;
        T D1 = -O12.x() * line2.direction.y() + O12.y() * line2.direction.x();
        T D2 = line1.direction.x() * O12.y() - line1.direction.y() * O12.x();

        T t1 = D1 / D;
        if(t1<0 || t1 > 1)
        {
            return false;
        }

        T t2 = D2 / D;
        if(t2<0 || t2 > 1)
        {
            return false;
        }

        insPoint = line1.startPoint + line1.direction * t1;     //这样计算得到的Z值是不准确的

        return true;
    }  
};

2.3.3. 三维展开

这个算法还有一个好处是也很适合三维空间展开,因为线段上点的向量方程是二三维通用的。当使用X,Y,Z三个分量带入式(1),这时得到的就是一个3行2列的超定方程组。可以继续求解原来的2行2列的线性方程组,只有当得到的t1,t2也能满足Z方向上的式子成立,才能说明存在交点。

3. 参考

  1. 计算几何-判断线段是否相交

详细代码

posted @ 2021-06-15 20:31  charlee44  阅读(202)  评论(0编辑  收藏  举报