用规划模型求解指派问题

一、前言

  优化模型主要有线性规划、非线性规划、动态规划和整数规划。而指派问题是整数规划中一类重要的问题：
有\(n\)项任务，由\(n\)个人来完成，每个人只能做一件，第\(i\)个人完成第\(j\)项任务要\(c_{ij}\)小时，如何合理安排时间才能使总用时最小？

二、 指派问题的数学模型

我们引入 0 - 1变量 \(x_{ij}\)

\[x_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{表示指派第i个人完成第j项工作} \\ 0, & \text{表示不指派第i个人完成第j项工作} \end{cases} \]

用x_{ij}表示第i个人完成第j项工作所需要的资源数，称之为价值系数。因此指派问题的数学模型是:

\[min \ z = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nc_{ij} x_{ij} \]

\[s.t = \begin{cases} \sum_{i=1}^n x_{ij}=1,\ \ \ \ \ i=1,2,···,n\\ \sum_{j=1}^n x_{ij}=1,\ \ \ \ \ j=1,2,···,n\\ x_{ij}=0或1,\ \ \ \ \ i,j = 1,2,···,n \end{cases} \]

• 第一个式子表示完成全部n项工作所消耗的总资源数要最少；
• 第二个式子表示第i个人只完成一项工作；
• 第三个式子表示第j项工作只能由一个人完成；
• 第四个式子表示决策变量只能取0或者1。

指派问题可以看作0 - 1整数规划问题来求解，也可以用更简单的匈牙利算法来求解。

三、 0 - 1规划求解(Matlab)

我们先给出这样一个例题，图中数值为第i个人要完成第j个任务需要消耗的资源数\(x_{ij}\)，求解:如何安排才能使的总资源消耗最少。

编程思路：
根据规划问题的要求：
每个人只能完成一个任务，每个任务只能由一个人完成。也正如第三部分中的第二个式子和第三个式子，当该4x4矩阵表示\(x_{ij}\)，即指派第i个人完成第j个任务时，此时每一行相加的值和为1，每一列相加的值和为1。（\(x_{ij}\)的值只能为0或者1）根据该思路，我们可以来进行Matlab变成。

c=[2,15,13,4,10,4,14,15,9,14,16,13,7,8,11,9]';
Aeq=[1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
    0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;
    0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0;
    0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1;
    1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0;
    0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0;
    0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0;
    0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1];
beq=[1;1;1;1;1;1;1;1];
lb=zeros(16,1);
ub=ones(16,1);
[x,fval] = linprog(c,[],[],Aeq,beq,lb,ub)
x=reshape(x,[4,4])'

其中Aeq和beq代表的是等式约束，Aeq的前四行分别表示 4x4的\(x_{ij}\)矩阵中四行中每行相加的值为1；Aeq的后四行分别表示4x4的\(x_{ij}\)矩阵找那个的四列中每列相加的值为1。（实际上它就是将4x4的矩阵按照行进行展开成了1x16的矩阵）。
然后再调用linprog()线性规划的函数，输入相应参数进行求解。求解所得的x是16x1的矩阵，我们为了便于观察，最后将该矩阵转换成4x4的矩阵。

以上代码也可以用for循环对其优化，将线性规划转换成整数规划进行求解

c=[2,15,13,4;10,4,14,15;9,14,16,13;7,8,11,9];
c=c(:);a=zeros(8,16);intcon=1:16;
for i=1:4
    a(i,(i-1)*4+1:4*i)=1;
    a(4+i,i:4:16)=1;
end
b=ones(8,1);lb=zeros(16,1);ub=ones(16,1);
x=intlinprog(c,intcon,[],[],a,b,lb,ub)
x=reshape(x,[4,4])

在对于指派问题中，还有一个经典算法时匈牙利算法，核心是寻找增广路径，用增广路径求二分图最大匹配的算法。后面会有一篇博客专门分享我对匈牙利算法理解及matlab实战。