CF1943D2 Counting Is Fun (Hard Version)

对于这种区间操作类的题目其实是不太擅长的。

首先先差分，发现就是对一个位置减 \(1\)，后面一个位置加 \(1\)，发现不能给相邻位置加，所以如果一个数的值大于其相邻两数之和，那么无解。

有了这个其实 Easy version 就很好做了，设 \(f_{i, j, k}\) 为到 \(i\)，\(a_i = j, a_{i - 1} = k\) 的方案数，容易用前后缀和优化至 \(O(n^3)\)。

但是 Hard version 就不是很简单了，我们发现 DP 状态都爆了，考虑优化 DP 状态，发现一个关键性质：

• 不可能有相邻两个 \(i\) 都大于相邻两数之和。

考虑容斥，容斥有 \(j\) 个位置不满足条件，发现将容斥的每一项拆开记入 DP 状态，令 \(f_{i, j}\) 到 \(i\) 且 \(a_i = j\) 时所有容斥系数乘上贡献和，容易前缀和优化到 \(O(n^2)\)，由于这个性质，DP 是不会需要记两个位置值的。