最小生成树(prime算法、kruskal算法) 和 最短路径算法(floyd、dijkstra)

  带权图分为有向和无向,无向图的最短路径又叫做最小生成树,有prime算法和kruskal算法;有向图的最短路径算法有dijkstra算法和floyd算法。

  生成树的概念:联通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树,则该子图称为G的生成树 生成树是联通图的极小连通子图。所谓极小是指:若在树中任意增加一条边,则 将出现一个回路;若去掉一条边,将会使之编程非连通图。生成树各边的权 值总和称为生成素的权。权最小的生成树称为最小生成树,常用的算法有prime算法和kruskal算法。

  最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径,常用的算法有:floyd算法和dijkstra算法。

 

  构造最小生成树一般使用贪心策略,有prime算法和kruskal算法

  prime算法的基本思想

1.清空生成树,任取一个顶点加入生成树

2.在那些一个端点在生成树里,另一个端点不在生成树里的边中,选取一条权最小的边,将它和另一个端点加进生成树

3.重复步骤2,直到所有的顶点都进入了生成树为止,此时的生成树就是最小生成树

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int prime(int cur)
{
int index;
int sum = 0;
memset(visit, false, sizeof(visit));
visit[cur] = true;
for(int i = 0; i < m; i ++){
dist[i] = graph[cur][i];
}

for(int i = 1; i < m; i ++){

int mincost = INF;
for(int j = 0; j < m; j ++){
if(!visit[j] && dist[j] < mincost){
mincost = dist[j];
index = j;
}
}

visit[index] = true;
sum += mincost;

for(int j = 0; j < m; j ++){
if(!visit[j] && dist[j] > graph[index][j]){
dist[j] = graph[index][j];
}
}
}
return sum;
}

  kruskal算法:构造一个只含n个顶点,而边集为空的子图,若将该子图中各个顶点看成是各棵树的根节点,则它是一个含有n棵树的森林 。之后,从网的边集中选取一条权值最小的边,若该边的两个顶点分属不同的树 ,则将其加入子图,也就是这两个顶点分别所在的 两棵树合成一棵树;反之,若该边的两个顶点已落在同一棵树上,则不可取,而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推,直至森林只有一棵树。kruskal算法能够在并查集的基础很快的实现。结合例子来介绍具体算法实现(其中并查集的部分可以详见并查集介绍部分) http://poj.org/problem?id=1251 

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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int size = 128;
int n;
int father[size];
int rank[size];

//把每条边成为一个结构体,包括起点、终点和权值
typedef struct node
{
int val;
int start;
int end;
}edge[SIZE * SIZE / 2];

//把每个元素初始化为一个集合
void make_set()
{
for(int i = 0; i < n; i ++){
father[i] = i;
rank[i] = 1;
}
return ;
}

//查找一个元素所在的集合,即找到祖先
int find_set(int x)
{
if(x != father[x]){
father[x] = find_set(father[x]);
}
return father[x];
}

//合并x,y所在的两个集合:利用Find_Set找到其中两个
//集合的祖先,将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。
void Union(int x, int y)
{
x = find_set(x);
y = find_set(y);
if(x == y){
return ;
}
if(rank[x] < rank[y]){
father[x] = find_set(y);
}
else{
if(rank[x] == rank[y]){
rank[x] ++;
}
father[y] = find_set(x);
}
return ;
}

bool cmp(pnode a, pnode b)
{
return a.val < b.val;
}

int kruskal(int n) //n为边的数量
{
int sum = 0;
make_set();
for(int i = 0; i < n; i ++){ //从权最小的边开始加进图中
if(find_set(edge[i].start) != find_set(edge[i].end)){
Union(edge[i].start, edge[i].end);
sum += edge[i].val;
}
}
return sum;
}

int main()
{
while(1){
scanf("%d", &n);
if(n == 0){
break;
}
char x, y;
int m, weight;
int cnt = 0;
for(int i = 0; i < n - 1; i ++){
cin >> x >> m;
//scanf("%c %d", &x, &m);
//printf("%c %d ", x, m);
for(int j = 0; j < m; j ++){
cin >> y >> weight;
//scanf("%c %d", &y, &weight);
//printf("%c %d ", y, weight);
edge[cnt].start = x - 'A';
edge[cnt].end = y - 'A';
edge[cnt].val = weight;
cnt ++;
}
}

sort(edge, edge + cnt, cmp); //对边按权从小到大排序
cout << kruskal(cnt) << endl;
}
}

  最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径,常用的算法有:floyd算法和dijkstra算法。

  floyd算法是最简单的最短路径算法,可以计算图中任意两点间的最短路径  folyd算法的时间复杂度是O(N3),如果是一个没有边权的图,把相连的两点  间的距离设为dist[i][j] = 1,不相连的两点设为无穷大,用 floyd算法可以判断i,j两点是否有路径相连。

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void floyd()
{
for(int k = 0; k < n; k ++){ //作为循环中间点的k必须放在最外一层循环
for(int i = 0; i < n; i ++){
for(int j = 0; j < n; j ++){
if(dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]){
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; //dist[i][j]得出的是i到j的最短路径
}
}
}
}
}

  dijkstra算法用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法,复杂度O(N2)。

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void dijkstra(int s)   //s是起点
{
    memset(visit, false, sizeof(visit));    
visit[s] = true;
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        dist[i] = graph[s][i];
    }
     
    int index;
    for(int i = 1; i < n; i ++){
        int mincost = INF;
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            if(!visit[j] && dist[j] < mincost){
                mincost = dist[j];
                index = j;    
            }    
        }
        visit[index] = true;
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            if(!visit[j] && dist[j] > dist[index] + graph[index][j]){
                dist[j] = dist[index] + graph[index][j];
            }    
        }    
    }
}

 

void dijkstra(int s)  //s是起点
{
memset(visit, false, sizeof(visit));
for(int i = 0; i < n; i ++){
dist[i] = INF;
}
visit[s] = true;
dist[s] = 0;
int index;
for(int i = 1; i < n; i ++){
int mincost = INF;
for(int j = 0; j < n; j ++){
if(!visit[j] && dist[j] < mincost){
mincost = dist[j];
index = j;
}
}
visit[index] = true;
for(int j = 0; j < n; j ++){
if(!visit[j] && dist[j] > dist[index] + graph[index][j]){
dist[j] = dist[index] + graph[index][j];
}
}
}
}
posted @ 2012-03-26 22:30  爱也玲珑  阅读(56293)  评论(5编辑  收藏  举报