[bzoj 2154]Crash的数字表格

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。

题解：

∑_i∑_jlcm(i,j) (i<=n,j<=m)

=∑_i∑_j i*j/gcd(i,j)

=∑_d∑_i∑_j i*j[gcd(i,j)=d]/d

=∑_d∑_i∑_j i*j*d*d[gcd(i,j)=1]/d   (i<=n/d,j<=m/d)

=∑_dd∑_i∑_j i*j∑_pμ(p)     (p|i,p|j)

=∑_dd∑_pμ(p)∑_ii*p∑_jj*p          (p<=n/d,i<=n/dp,j<=m/dp)

令x=[n/dp]，y=[m/dp]

=∑_dd∑_pμ(p)*p*p*((x+1)*x/2)*((y+1)*y/2)

 手写公式好累啊，求推荐

接下来就可以分块了

令F(n)=∑_pμ(p)*p*p*((x+1)*x/2)*((y+1)*y/2)     (p<=n)

因为n/d的值可以分块，所以在外层分块i~pos，调用F(n/i)

在F()内再分块，因为(n/d)/p也可以分块

还有一个改动就是∑_dd∑_pμ(p)*p*p*((x+1)*x/2)*((y+1)*y/2)

这也不难，因为每一块内的值都相同，对于前面的d，套用等差数列求和再*F(n/i)即可

对于p*p，同理，在维护莫比乌斯函数μ前缀和时稍作修改

mu[i]+=mu[i-1]-> mu[i]=mu[i-1]+mu[i]*i*i

 

对于分块方法不懂的话

http://www.cnblogs.com/Y-E-T-I/p/7255421.html

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long lol;
int Mod=20101009;
lol mu[10000001];
int tot;
lol prime[5000001];
bool vis[10000001];
lol n,m,ans;
void mobius()
{lol i,j;
mu[1]=1;
    for (i=2;i<=m;i++)
    {
        if (vis[i]==0)
        {
            tot++;
            prime[tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (j=1;j<=tot,i*prime[j]<=m;j++)
         {
             vis[i*prime[j]]=1;
             if (i%prime[j]==0)
             {
                 mu[i*prime[j]]=0;
                 break;
            }
                 mu[i*prime[j]]=-mu[i];
         }
    }
    for (i=1;i<=m;i++)
    mu[i]=(mu[i-1]+(mu[i]*(i*i)%Mod)%Mod)%Mod;
}
lol min(lol x,lol y)
{
    if (x<y) return x;
    else return y;
}
lol sum(lol x,lol y)
{
    lol s1=((1+x)*x/2)%Mod,s2=(((1+y)*y/2)%Mod);
    return s1*s2%Mod;
}
lol work(lol x,lol y)
{
    lol s=0;
    lol pos=1,i;
    for (i=1;i<=x;i=pos+1)
    {
      pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
      s=(s+(((mu[pos]-mu[i-1]+Mod)%Mod)*(sum(x/i,y/i)))%Mod)%Mod;
    }
    return s;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    if (n>m) swap(n,m);
    mobius();
    lol pos=1,i;
     for (i=1;i<=n;i=pos+1)
     {
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans=(ans+((((i+pos)*(pos-i+1)/2)%Mod)*work(n/i,m/i))%Mod)%Mod;
     }
  cout<<ans; 
}