2025 11 18 + 11 19

11.18

• 下午和晚上都要被拉去上文化课（
• dmy DAY5 T2
  • 我们可以把 \(a,b\) 的询问看成一条链上挂着一些子树，通过 \(d_a\) 和 \(d_b\) 的差我们能够求出 \(x\) 的位置，然后我们可以预处理出一个点离它最远的三个点及距离即可，代码难度有点高
• dmy DAY8 T1
  • 可以把 \(f()\) 操作看成 \(x \oplus y = sum\) 的情况下使得 \(x + y\) 尽可能大，故我们可以逐位考虑，若 \(sum\) 这位上为1则无所谓，如果为0的话要么是两个1要么是两个0，考虑1的情况是否出现，故我们可以得到一个 \(???1??1??\) 的二进制数，考虑它在前面有没有出现，故我们加入 \(a_i\) 的时候就加入 \(sum_i\) 的所有子集标记为出现过即可

11.19

• P7406 DP,发现性质题目
• 首先我看出了 \(a_i < a_{i+1}+2\) 可以化为 \(a_i <= a_{i+1}+1\) 我此时也猜到了是若干连续下降的序列拼起来的
• 然后我稍一推导便发现这是从小到大依次放入的，故设 \(f_i\) 为 \([1,i]\) 都放入序列中了的最小代价，定义 \(g_{l,r}\) 为把 \(l-r\) 放入 \([l,r]\) 这段区间的操作次数
• \(f_i = \min_{f_j + g_{j+1,i}}\)
• 问题转化为 \(g_{l,r}\) 该如何求取
  • 可以发现 \([1,l-1]\) 已经归位无需考虑，则我们发现这就是 \(l-r\) 和 \(r+1-n\) 的逆序对个数加上 \(l-r\) 和 \(l-r\) 的顺序对个数这个用二维前缀和维护即可
• P3188 背包DP，二进制拆位
  • 其实是一道很经典的板子拆位题但是我没做过
  • 考虑 \(a \cdot 2^b(a<=10)\) 可以发现这是一个比较特别的性质，所以能猜到肯定与拆位相关
  • 故我们定义 \(f_{i,j}\) 表示在第 \(i\) 位可以选 \(j\) 个 \(1<<i\) 的最大价值，可以直接转移
  • 如何把第 \(i\) 位与前 \(i-1\) 位拼起来，换句话说如何把 \(i-1\) 位转到第 \(i\) 位上
  • 考虑 \(i\) 位的选数无法对前 \(i-1\) 造成影响，故我们可以考虑 \(w\) 这个东西的前 \(i-1\) 位上的权值尽量选满，故前 \(i-1\) 位转移到第 \(i\) 位即为，定义 \(g_{i,j}\) 表示前 \(i\) 位，在第 \(i\) 位上用了 \(j\) 个 \(1<<j\) 的最大价值
  • g_{i,j} = max(f_{i,p} + g_{i-1,2*(j-p)+(w>>(i-1) & 1)})
  • 转移即可
• p6554
  • 换根DP板题啊/cg，怎么还是蓝（
• P5664
  • 首先我想到了容斥，我也想到了要枚举最多的去DP转移，但是！我甚至想到了去维护总数与最大数量级的数量关系，但是我没想到可以维护最大数数量与其他数之和的差！
  • 在类似于最大值不能/要超过总数一半的DP问题中，我们可以考虑维护最大值和其他数之和的差
  • 之前我应该是见过类似的trick的但是十分久远，以至于我发散思维想了20min左右都没想到此题这么板的解法/jk