洛谷 P7706 「Wdsr-2.7」文文的摄影布置

前言（本质是废话）

晚自习打了一个小时打完这道题，写篇题解纪念一下。

这道题的思路还是比较巧妙的，且有亿一点点绕，请务必确保读者在阅读时没有头晕、恶心、困倦等症状，出现笔者概不负责。

拉回正题

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给定两个长为 \(n\) 的序列 \(A\) 和 \(B\)，每次进行下面三种操作之一：

• 将点 \(a\) 的 \(A\) 值更改为 \(b\)；

• 将点 \(a\) 的 \(B\) 值更改为 \(b\)；

• 查询区间 \(a\) 到 \(b\) 的 \(max\{A[i]-B[j]+A[k]\}, (a \leq i<j<k \leq b)\)；

首先一眼线段树啊，设计 \(ans\) 表示线段树需要维护的操作三所求的区间一坨玩意的最大值，\(mid\) 在下文表示该区间的中间位置。那么还是使用经典的分类讨论：

• 若三个取值位置都 \(\leq\) \(mid\)，则直接继承左区间的 \(ans\)；

• 若三个取值位置都 \(>\) \(mid\)，则直接继承右区间的 \(ans\)；

• 若三个值的位置跨越了左右两个区间，情况就会复杂很多一点。因为三个位置满足 \(a \leq i<j<k \leq b\)，又由于三个值跨越了左右两个区间，很显然就有左右两个区间中的一个会剩下一个 \(A\) 值。那这时在这半边区间里就没有什么位置限制了，当然是取最大值为最优，故线段树还需要维护区间 \(A\) 最大值。那么考虑进一步分类讨论：

  • 若剩下的两个值 \(A_i\) 和 \(B_j\) 均位于左区间，而 \(A_k\) 位于右区间，则不难发现线段树还需要维护一个值 \(maxP\) 来记录当 \(p<q\) 时 \(A_p-B_q\) 的最大值。那怎么维护这个诡异的东西呢？那又是分类讨论一下：

    • 若 \(A_i\) 与 \(B_j\) 都位于左区间的左区间，那么就是左区间的左区间的 \(maxP\)；

    • 若 \(A_i\) 与 \(B_j\) 都位于右区间的右区间，则为右区间的右区间的 \(maxP\)；

    • 若分别在两边（因为有 \(i<j\)，所以只可能是 \(i\) 在左边，\(j\) 在右边），为了求最大值，猜都猜得出来就是加的大减的小嘛。所以 \(maxP\) 就为左区间的 \(maxA\) 减去右区间的 \(minB\)；

  • 若剩下的两个值 \(A_k\) 和 \(B_j\) 均位于右区间，而 \(A_i\) 位于左区间，则线段树就需要维护一个值 \(maxQ\) 来记录当 \(p>q\) 时 \(A_p-B_q\) 的最大值。维护方法同上，请读者自己思考 （主要是笔者懒得写了）。

那么解题的核心思路就讲完了，剩下的都是一些线段树的细节边角料。

\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int A[500005],B[500005];
struct node{
	int L,R,maxA,minB,maxP,maxQ,ans;
};
node tree[4000005];
void pushup(node &u,node ls,node rs){
	u.maxA=max(ls.maxA,rs.maxA),u.minB=min(ls.minB,rs.minB);
	u.maxP=max(max(ls.maxP,rs.maxP),ls.maxA-rs.minB);
	u.maxQ=max(max(ls.maxQ,rs.maxQ),rs.maxA-ls.minB);
	u.ans=max(max(ls.ans,rs.ans),max(ls.maxA+rs.maxQ,ls.maxP+rs.maxA));
	return;
}
void buildtree(int u,int l,int r){
	tree[u].L=l,tree[u].R=r;
	if(l==r){
		tree[u].maxA=A[l],tree[u].minB=B[l];
		tree[u].maxP=tree[u].maxQ=tree[u].ans=INT_MIN;
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	buildtree(u*2,l,mid),buildtree(u*2+1,mid+1,r);
	pushup(tree[u],tree[u*2],tree[u*2+1]);
	return;
}
void mergeA(int u,int id,int val){
	if(tree[u].L==id&&tree[u].R==id){
		tree[u].maxA=val;
        tree[u].maxP=tree[u].maxQ=tree[u].ans=INT_MIN;
		return;
	}
	int mid=(tree[u].L+tree[u].R)/2;
	if(id<=mid) mergeA(u*2,id,val);
	else mergeA(u*2+1,id,val);
	pushup(tree[u],tree[u*2],tree[u*2+1]);
	return;
}
void mergeB(int u,int id,int val){
	if(tree[u].L==id&&tree[u].R==id){
		tree[u].minB=val;
        tree[u].maxP=tree[u].maxQ=tree[u].ans=INT_MIN;
		return;
	}
	int mid=(tree[u].L+tree[u].R)/2;
	if(id<=mid) mergeB(u*2,id,val);
	else mergeB(u*2+1,id,val);
	pushup(tree[u],tree[u*2],tree[u*2+1]);
	return;
}
node query(int u,int l,int r){
	int L=tree[u].L,R=tree[u].R;
	if(R<l||L>r) return {0,0,INT_MIN,INT_MAX,INT_MIN,INT_MIN,INT_MIN};
	if(L>=l&&R<=r) return tree[u];
	int mid=(L+R)/2;
	if(r<=mid) return query(u*2,l,r);
	if(l>mid) return query(u*2+1,l,r);
	node left=query(u*2,l,r);
	node right=query(u*2+1,l,r);
	node res;
	pushup(res,left,right);
	return res;
}
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&A[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&B[i]);
	buildtree(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int opt,a,b;
		scanf("%d%d%d",&opt,&a,&b);
		if(opt==1) mergeA(1,a,b);
		else if(opt==2) mergeB(1,a,b);
		else printf("%d\n",query(1,a,b).ans);
	}
	return 0;
}

\(-\) ❀ 完结撒花 ❀ \(-\)