线性基

别问我为什么现在才开始学线性基。。。

看到我们机房巨佬去年10月份就已经切了线性基，简直无地自容。

好了现在进入正题。

线性基

定义：线性基是OI中常用来解决子集异或一类题目的算法。

性质：①线性基能相互异或得到原集合的所有相互异或得到的值。

　　　②线性基是满足性质1的最小的集合。

　　　③线性基没有异或和为0的子集。

证明：反证法：设线性基S={a1,a2...,an}；
　　若有子集a1^a2^...^at=0，则a1=a2^a3^...^at，则舍弃a1后一定能通过剩余的元素异或出所有需要a1参与异或的值。设Y=a1^X，因为{a1,a2,...,an}是一组线性基，X一定能由a2...an中相互异或得来。
　　Y=a1^X=a2^a3^...^at^X，将X中在a2...at中出现的元素删去，在a2...at中未出现的元素加入，则也能异或得到Y，所以a1于线性基无用，与线性基是最小子集的定义矛盾。
　　所以：线性基没有异或和为0的子集。
（以上内容摘自百度百科）

应用

我们知道，运用线性基中的一些元素进行异或，可以得到原序列中的任意元素（当然针对性质3，序列中的0需要单独讨论），利用这样的性质，我们就可以解决很多OI中的关于元素异或的问题了！(*^▽^*)

  • 线性基的构造

　　我们用a数组来存储原序列中的元素，用b数组来存储线性基中的元素。我们可以尝试将a中的元素插入线性基。

 1 for(int i=1;i<=n;i++)
 2     {
 3         ll x=a[i];
 4         for(int j=50;j>=0;j--)
 5         if(x&(1ll<<j)) //注意当j超过31时要用1ll，不然会爆掉（QAQ我就在这调了好久）
 6         {
 7             if(!b[j]) 
 8             {
 9                 b[j]=x;
10                 break;//插入成功后记得退出哦！
11             }
12             else x^=b[j];
13         }
14     }

对于x而言，每次能进行插入的实质上是它的最高位（二进制下），如果插入成功就可以直接退出，否则与b数组该位的元素进行异或（通过手玩推理可以发现这样插入可以保证能异或出序列中的原元素）。

  • 查询最大值

对于查询序列中能异或出的最大值，我们可以采用贪心的思想，把b数组从大往小枚举，如果能够使当前答案变大，就异或上该b数组中的元素。

1 ll qmax()
2 {
3     ll ans=0;
4     for(int i=50;i>=0;i--) if((ans^b[i])>ans) ans^=b[i];
5     return ans;
6 }

证明：对于每一个非0的bi，其二进制上的i+1位都为1，如果当前答案异或上改元素大于原答案，证明原答案第i+1位上为0，因为是从大往小枚举，因此异或只会对答案i+1位以后产生影响，且就算后i位全从1变成0也比第i+1位从0变成1的贡献小，故该贪心是正确的。

  • 查询最小值

　　考虑b数组各元素最高位不同，故每次由小的b异或大的b都会使小的b变大，且b的值随i值的增大而增大（非零状况下），所以可以分两类考虑：

　　①当原序列能异或出0时，直接输出0；

　　②如果原序列不能异或出0，那么将b数组由i值从小到大枚举，第一个非0的b值即为答案。

1 ll qmin()
2 {
3     if(fl) return 0;//fl==1指能异或出0
4     for(int i=0;i<=50;i++) if(b[i]) return b[i];
5 }

  • 查询第k小

首先，我们要简化一下我们的b数组。

 1 void pre()
 2 {
 3     for(int i=1;i<=50;i++)
 4     {
 5         for(int j=i-1;j>=0;j--)
 6             if(b[i]&(1<<j)) b[i]^=b[j];
 7         if(b[i]) c[cnt++]=b[i];
 8         }    
 9     cnt--;
10 }

大家可以发现，简化完了后，对于二进制上的每一位，b数组中该位上为1的元素个数<=1。而现在的这个b数组与原数组实质上是相同的，都可以通过异或得到原序列的每一个元素。

然后，我们用一个c数组记录b数组中对我们的答案有贡献的元素（即不为0的元素）。

　　我们对k进行转化，转化为二进制数。对于k的每一个为1的二进制位（假设为i），我们用c[i]异或上我们当前的答案。

 1 ll qk_th(int k)
 2 {
 3     if(fl) k--;
 4     if(!k) return 0;
 5     if(k>=(1<<cnt)) return -1; 
 6     ll ans=0;int t=0;
 7     while(k)
 8     {
 9         if(k%2) ans^=c[t];
10         k/=2;
11         t++;
12      } 
13     return ans;
14  }

这样做是正确的。因为c数组是递增的，而且每一个数1的分布不同，可以证明，形如11…比形如10…(假设位数相同）的结果大，位数大的比位数小的大，因此异或出的结果一定是第k大的（当然要对0的情况特判）。注意有贡献的状态有cnt个，最多能异或出的非0的状态为(1<<cnt)-1个，若k大于总状态数，则无解。

（未完待续...)

 
posted @ 2020-01-29 14:21  P-Y-Y  阅读(232)  评论(0)    收藏  举报