[ZJOI2016] 旅行者

[ZJOI2016] 旅行者

你说得对，但是最短路综合练习题。

题意

给定一张 \(n\) 行 \(m\) 列的带权网格图，\(q\) 次询问两点间最短路。

\(1 \leq n \times m \leq 2 \times 10^4\)，\(q \leq 10^5\)。

思路

题目可以离线，且网格图很整，所以考虑离线后分治。

假设现在我们处理两点都在 \((x_1,y_1)\) 到 \((x_2,y_2)\) 之间的询问。

考虑沿中线将网格图分成两部分，则两点间的最短路要么经过中线，要么不经过中线。

如果两点间的最短路经过中线，我们可以从中线上的所有点跑最短路，合并两边答案即可。

如果两点间的最短路不经过中线，那么这两点必定在同一边，递归即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m,q,dlt[4][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};
long long G[20010][4];
int id(int x,int y){
	return m*(x-1)+y;
}
struct Node{
	int id,ux,uy,vx,vy;
};
long long ans[100010],dis[20010];
bool vis[20010];
struct Vex{
	int vx,vy;
	long long w;
};
bool operator <(const Vex &lhs,const Vex &rhs){
	return lhs.w>rhs.w;
}
void Dijkstra(int ux,int uy,int xl,int xr,int yl,int yr){
	for(int i=1;i<=n*m;i++){
		dis[i]=INF;
		vis[i]=0;
	}
	dis[id(ux,uy)]=0;
	priority_queue<Vex> pq;
	pq.push((Vex){ux,uy,0});
	while(!pq.empty()){
		ux=pq.top().vx,uy=pq.top().vy;
		int u=id(ux,uy);
		long long cost=pq.top().w;
		pq.pop();
		if(vis[u]){
			continue;
		}
		vis[u]=true;
		for(int i=0;i<4;i++){
			int vx=ux+dlt[i][0],vy=uy+dlt[i][1];
			int v=id(vx,vy);
			long long w=G[u][i];
			if(vx>=xl  &&  vx<=xr  &&  vy>=yl  &&  vy<=yr  &&  cost+w<dis[v]){
				dis[v]=cost+w;
				pq.push((Vex){vx,vy,cost+w});
			}
		}
	}
}
void solve(int xl,int xr,int yl,int yr,vector<Node> query){
	if(xl==xr  &&  yl==yr){
		for(int i=0;i<query.size();i++){
			ans[query[i].id]=min(ans[query[i].id],0LL);
		}
		return ;
	}
	if(xr-xl>=yr-yl){
		int mid=(xl+xr)>>1;
		for(int i=yl;i<=yr;i++){
			Dijkstra(mid,i,xl,xr,yl,yr);
			for(int j=0;j<query.size();j++){
				ans[query[j].id]=min(ans[query[j].id],dis[id(query[j].ux,query[j].uy)]+dis[id(query[j].vx,query[j].vy)]);
			}
		}
		vector<Node> queryl,queryr;
		for(int i=0;i<query.size();i++){
			if(query[i].ux<=mid  &&  query[i].vx<=mid){
				queryl.push_back(query[i]);
			}
			if(query[i].ux>mid  &&  query[i].vx>mid){
				queryr.push_back(query[i]);
			}
		}
		if(!queryl.empty()){
			solve(xl,mid,yl,yr,queryl);
		}
		if(!queryr.empty()){
			solve(mid+1,xr,yl,yr,queryr);
		}
	}
	else{
		int mid=(yl+yr)>>1;
		for(int i=xl;i<=xr;i++){
			Dijkstra(i,mid,xl,xr,yl,yr);
			for(int j=0;j<query.size();j++){
				ans[query[j].id]=min(ans[query[j].id],dis[id(query[j].ux,query[j].uy)]+dis[id(query[j].vx,query[j].vy)]);
			}
		}
		vector<Node> queryl,queryr;
		for(int i=0;i<query.size();i++){
			if(query[i].uy<=mid  &&  query[i].vy<=mid){
				queryl.push_back(query[i]);
			}
			if(query[i].uy>mid  &&  query[i].vy>mid){
				queryr.push_back(query[i]);
			}
		}
		if(!queryl.empty()){
			solve(xl,xr,yl,mid,queryl);
		}
		if(!queryr.empty()){
			solve(xl,xr,mid+1,yr,queryr);
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n*m;i++){
		for(int j=0;j<4;j++){
			G[i][j]=INF;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<m;j++){
			long long w;
			scanf("%lld",&w);
			int u=id(i,j),v=id(i,j+1);
			G[u][0]=G[v][1]=w;
		}
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			long long w;
			scanf("%lld",&w);
			int u=id(i,j),v=id(i+1,j);
			G[u][2]=G[v][3]=w;
		}
	}
	scanf("%d",&q);
	vector<Node> query;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		ans[i]=INF;
		int ux,uy,vx,vy;
		scanf("%d %d %d %d",&ux,&uy,&vx,&vy);
		query.push_back((Node){i,ux,uy,vx,vy});
	}
	solve(1,n,1,m,query);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		printf("%lld\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}