Re: end of a dream

长夜伴浪晓破梦，梦破晓浪伴夜长。——题记

L 是学君中学紫罗兰永恒校区的一名高中生。来到这个学校对于 L 来说是一种意外，他不想和这个学校里的一切产生任何羁绊，除了数学课。L 非常喜欢数学，这也成为了他心中的一种执念。L 认为，正是因为他开始接触数学的时间太晚，才导致他没有迎来本来属于他的光明前途。

一天晚上，L 在做南昌市 2025 届高三模拟测试数学试卷，其中的压轴题是这样的：

\(19.\) 通过抛掷骰子产生随机数列 \(\{a_n\}\)，具体产生方式为：若第 \(k\,(k\in \{1,2,\dots,n\})\) 次抛掷得到点数 \(i\,(i\in \{1,2,3,4,5,6\})\)，则 \(a_k=i\). 记数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，\(X_n\) 为 \(S_n\) 除以 \(4\) 的余数.

\((3)\) 若 \(n=20\)，设 \(\left(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6\right)^{20}=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{120}x^{120}\)，试确定该展开式中各项系数与事件 \(S_n=j\,(j\in \mathbf{N^*},j\le 120)\) 的联系，并求 \(X_{20}=0\) 的概率.

L 非常兴奋。这不就是一个生成函数板子吗？他想。L 很快算出了答案为 \(\dfrac{1}{4}-\dfrac{2^9}{6^{20}}\)。但是 L 并不满足于此，于是自创了一道他所谓的加强版题目：

已知 \(m=4t+1,t\in \mathbf{N^*}\)，求满足以下条件的 \(n\,(n\in \mathbf{N^*})\) 项数列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 个数：

• \(\forall\, k\in \{1,2,\dots,n\},a_k\in \{0,1,\dots,m\}\)
• \(\sum\limits_{k=1}^na_k\) 是 \(4\) 的倍数

L 同时给出了他的解答：

令 \(g_n(x)=\left(\sum\limits_{k=0}^mx^k\right)^n=\sum\limits_{k=0}^{mn}b_kx^k\). 下证对于任意 \(k\in \{0,1,\dots,mn\}\)，\(b_k\) 表示满足 \(S_n=k\) 的数列 \(a_1,\dots,a_n\) 可能个数.

• 当 \(n=1\) 时，\(\forall \,k\in\{0,1,\dots,m\},b_k=1\) 显然该结论显然成立；
• 假设当 \(n=t\) 时该结论成立，则当 \(n=t+1\) 时，令 \(g_t(x)=\sum\limits_{k=0}^{mt}c_kx^k\)，则 \(g_{t+1}(x)=g_t(x)\sum\limits_{k=0}^mx^k=\sum\limits_{k=0}^{m(t+1)}b_kx^k\)，比对系数可知 \(b_k=\sum\limits_{j=0}^mc_{k-j}\). 其中当 \(k<0\) 时不妨认为 \(c_k=0\). 而 \(c_k\) 表示 \(S_t=k\) 的数列 \(a_1,\dots,a_t\) 个数，根据分类加法计数原理，按照 \(a_{t+1}\) 的取值分成 \(m+1\) 类，可知满足 \(S_{t+1}=k\) 的数列 \(a_1,\dots,a_{t+1}\) 个数为 \(b_k\). 故 \(n=t+1\) 时该结论也成立.

由数学归纳法可知，该结论对于 \(n\in \mathbf{N}^*\) 成立.

记所有除以 \(4\) 余数为 \(r\,(r\in \{0,1,2,3\})\) 的 \(k\,(k\in \{0,1,\dots,mn\})\) 的 \(b_k\) 之和为 \(W_r\)，则所求即为 \(W_0\).

令虚数单位为 \(\mathrm{i}\). 则有：

• \(W_0+W_1+W_2+W_3=g_n(1)=(m+1)^n\)
• \(W_0-W_1+W_2-W_3=g_n(-1)\)
• \(W_0+\mathrm{i}W_1-W_2-\mathrm{i}W_3=g_n(\mathrm{i})\)
• \(W_0-\mathrm{i}W_1-W_2+\mathrm{i}W_3=g_n(-\mathrm{i})\)

解得 \(W_0=\dfrac{g_n(1)+g_n(-1)+g_n(\mathrm{i})+g_n(-\mathrm{i})}{4}\).

由于 \(m=4t+1,t\in \mathbf{N^*}\)，所以 \(g_n(-1)=0,g_n(\mathrm{i})=(1+\mathrm{i})^n,g_n(-\mathrm{i})=(1-\mathrm{i})^n\)，可得 \(W_0=\dfrac{(m+1)^n+(1+\mathrm{i})^n+(1-\mathrm{i})^n}{4}\).

对于两个复数 \(z_1=r_1(\cos \theta _1+\mathrm{i}\sin \theta_1),z_2=r_2(\cos \theta _2+\mathrm{i}\sin \theta_2)\)，则有：

\[z_1z_2=r_1r_2[\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2+\mathrm{i}(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)]=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+\mathrm{i}\sin(\theta_1+\theta_2)) \]

对于 \(n\in \mathbf{N}^*\) 和 \(z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\)，反复运用该式即可得到 \(z^n=r^n(\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta)\)，所以：

\[(1+\mathrm{i})^n=\left(\sqrt 2\right)^n\left(\cos \dfrac{n\mathrm{\pi}}{4}+\mathrm{i}\sin \dfrac{n\mathrm{\pi}}{4}\right) \]

\[(1-\mathrm{i})^n=\left(\sqrt 2\right)^n\left(\cos \left(-\dfrac{n\mathrm{\pi}}{4}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\dfrac{n\mathrm{\pi}}{4}\right)\right)=\left(\sqrt 2\right)^n\left(\cos \dfrac{n\mathrm{\pi}}{4}-\mathrm{i}\sin \dfrac{n\mathrm{\pi}}{4}\right) \]

故 \(W_0=\dfrac{1}{4}\left[(m+1)^n+\left(\sqrt{2}\right)^{n+2}\cos\dfrac{n\mathrm{\pi}}{4}\right]\).

但是 L 还不是很满意。他认为 \(m=4t+1,t\in \mathbf{N^*}\) 还是过于特殊化了，L 渴望得到更加一般的规律，于是他又得到了一道新的题目：

已知 \(m,p\in \mathbf{N^*}\)，求满足以下条件的 \(n\,(n\in \mathbf{N^*})\) 项数列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 个数：

• \(\forall\, k\in \{1,2,\dots,n\},a_k\in \{0,1,\dots,m\}\)
• \(\sum\limits_{k=1}^na_k\) 是 \(p\) 的倍数

这个问题看上去十分棘手，L 思考了一会后便低下了头。

突然，L 感觉眼前一亮，他抬起头来，发现有一道圣光照进了房间。L 擦了擦眼睛，圣光逐渐消散，显现出一位女子，外表和普通高中生无异。

“你是谁？” L 问道。

“我是智慧女神。由于智慧的英文是 wisdom，你也可以叫我 W。” 女子回答道。

由于佩戴着面纱，L 不能看清 W 的脸，只察觉到 W 的辫子末端有一股反重力的上翘，形如一个积分符号 \(\int\)。

“你是来解答我的问题的吗？” L 问道。

“是的。” W 轻声说道，“回想你代入 \(1,-1, \mathrm{i},-\mathrm{i}\) 的过程，本质上是在代入 \(4\) 次单位根。再结合一下题目要求 \(\sum\limits_{k=1}^na_k\) 为 \(4\) 的倍数，我想答案应该呼之欲出了。”

L 心头一震：我只要代入 \(p\) 次单位根，就可以得到答案了！

令 \(\omega _p=\cos \dfrac{2\mathrm{\pi}}{p}+\mathrm{i}\sin \dfrac{2\mathrm{\pi}}{p}\)，则 \(\omega_p^q=\cos\dfrac{2q\mathrm{\pi}}{p}+\mathrm{i}\sin\dfrac{2q\mathrm{\pi}}{p}\,(q\in \mathbf{N^*})\). 记除以 \(p\) 余数为 \(r\,(r\in \{0,1,\dots,p-1\})\) 的所有 \(k\) 的 \(b_k\) 之和为 \(W_r\). 此时若 \(k=vp+r,v\in \mathbf{N}\)，则 \(\omega_p^{qk}=\cos\dfrac{2q(vp+r)\mathrm{\pi}}{p}+\mathrm{i}\sin\dfrac{2q(vp+r)\mathrm{\pi}}{p}=\cos\dfrac{2qr\mathrm{\pi}}{p}+\mathrm{i}\sin\dfrac{2qr\mathrm{\pi}}{p}=\omega_p^{qr}\). 代入可得：

\[g_n\left(\omega_p^q\right)=\sum\limits_{r=0}^{p-1}W_r\omega_p^{qr} \]

等式两边同时累加可得：

\[\sum\limits_{r=0}^{p-1}W_r\sum\limits_{q=0}^{p-1}\omega_p^{qr}=\sum\limits_{q=0}^{p-1}g_n\left(\omega_p^q\right) \]

• 当 \(r=0\) 时，\(\sum\limits_{q=0}^{p-1}\omega_{p}^{qr}=p\).
• 当 \(1\le r< p\) 时，\(\omega_p^r\ne 1\)，\(\sum\limits_{q=0}^{p-1}\omega_p^{qr}=\dfrac{1-\omega_p^{rp}}{1-\omega_p^r}=0\).

所以 \(pW_0=\sum\limits_{q=0}^{p-1}g_n\left(\omega_p^q\right)\)，即 \(W_0=\dfrac{1}{p}\sum\limits_{q=0}^{p-1}g_n\left(\omega_p^q\right)\).

W 笑了笑，说道：“看来你已经明白了。” 那道圣光重新显现，W 的身影在光中逐渐消散。

“等一下！请不要离开！” L 喊道。他试着上前，进入那道光中，抓住 W 的手。

但是 L 扑了个空。他发现自己正坐在床上，手里抓着被窗外的月亮和十七度空调冷却过的空气。远在天边和近在咫尺的车灯成了此时此刻唯一的光源。刚才所发生的一切都只是一场已经终结了的虚无缥缈的梦。

L 闷闷不乐。第二天他到班里打听有管 W 的消息，可是同学们都告诉他根本没有 W 这个人。于是 L 把这一切告诉了我。在那以后，我再也没收到过 L 的消息。他仿佛从人间蒸发了一样，或许，是去寻找 W 了吧。

我对 L 产生了一些兴趣，于是也去打听 L，但是大家都告诉我没有这个人，就像大家都告诉 L 没有 W 一样。

L 虽然离开了我们，但他并非没有给这个世界留下任何东西。他留下了一道题目：

已知 \(m\in \mathbf{N},n,p\in \mathbf{N^*}\)，证明：

\[pW_0=(m+1)^n+\sum\limits_{r=1}^{p-1}\left(\dfrac{\sin \frac{(m+1)\mathrm{\pi}r}{p}}{\sin\frac{\mathrm{\pi}r}{p}}\right)^n\left(\cos\dfrac{mn\mathrm{\pi}r}{p}+\mathrm{i}\sin \dfrac{mn\mathrm{\pi}r}{p}\right) \]

我尝试解决这道题目。

\(\left(\dfrac{\sin \frac{(m+1)\mathrm{\pi}r}{p}}{\sin\frac{\mathrm{\pi}r}{p}}\right)^n\left(\cos\dfrac{mn\mathrm{\pi}r}{p}+\mathrm{i}\sin \dfrac{mn\mathrm{\pi}r}{p}\right)=\left(\dfrac{\sin \frac{(m+1)\mathrm{\pi}r}{p}\cos\frac{m\mathrm{\pi}r}{p}}{\sin\frac{\mathrm{\pi}r}{p}}+\mathrm{i}\dfrac{\sin \frac{(m+1)\mathrm{\pi}r}{p}\sin\frac{m\mathrm{\pi}r}{p}}{\sin\frac{\mathrm{\pi}r}{p}}\right)^n\).

注意到：

\[\begin{aligned}\sin\dfrac{(m+1)\mathrm{\pi}r}{p}\cos\dfrac{m\mathrm{\pi}r}{p}&=\dfrac{\sin\frac{(2m+1)\mathrm{\pi}r}{p}+\sin\frac{\mathrm{\pi}r}{p}}{2}\\&=\dfrac{\sum_{q=0}^m\left(\sin\frac{(2q+1)\mathrm{\pi}r}{p}-\sin\frac{(2q-1)\mathrm{\pi}r}{p}\right)}{2}\\&=\sum\limits_{q=0}^m\cos\dfrac{2q\mathrm{\pi}r}{p}\sin\dfrac{\mathrm{\pi}r}{p}\end{aligned} \]

\[\begin{aligned}\sin\dfrac{(m+1)\mathrm{\pi}r}{p}\sin\dfrac{m\mathrm{\pi}r}{p}&=\dfrac{\cos\frac{\mathrm{\pi}r}{p}-\cos\frac{(2m+1)\mathrm{\pi}r}{p}}{2}\\&=\dfrac{\sum_{q=0}^m\left(\cos\frac{(2q-1)\mathrm{\pi}r}{p}-\cos\frac{(2q+1)\mathrm{\pi}r}{p}\right)}{2}\\&=\sum\limits_{q=0}^m\sin\dfrac{2q\mathrm{\pi}r}{p}\sin\dfrac{\mathrm{\pi}r}{p}\end{aligned} \]

因此 \(\left(\dfrac{\sin \frac{(m+1)\mathrm{\pi}r}{p}\cos\frac{m\mathrm{\pi}r}{p}}{\sin\frac{\mathrm{\pi}r}{p}}+\mathrm{i}\dfrac{\sin \frac{(m+1)\mathrm{\pi}r}{p}\sin\frac{m\mathrm{\pi}r}{p}}{\sin\frac{\mathrm{\pi}r}{p}}\right)^n=\left[\sum\limits_{q=0}^m \left(\cos\dfrac{2q\mathrm{\pi}r}{p}+\mathrm{i}\sin\dfrac{2q\mathrm{\pi}r}{p}\right)\right]^n=\left(\sum\limits_{q=0}^m\omega_{p}^{qr}\right)^n=g_n\left(\omega _p^r\right)\).

而显然 \((m+1)^n=g_n\left(\omega_{p}^0\right)\). 故：

\[pW_0=\sum\limits_{r=0}^{p-1}g_n\left(\omega_p^r\right)=(m+1)^n+\sum\limits_{r=1}^{p-1}\left(\dfrac{\sin \frac{(m+1)\mathrm{\pi}r}{p}}{\sin\frac{\mathrm{\pi}r}{p}}\right)^n\left(\cos\dfrac{mn\mathrm{\pi}r}{p}+\mathrm{i}\sin \dfrac{mn\mathrm{\pi}r}{p}\right) \]

我的数学水平不高，理解不了 L 和 W 所蕴含的思想。但我相信将来会有人能够理解，于是写下了这个故事。