题解：P11701 [ROIR 2025] 平方差

题解：P11701 [ROIR 2025] 平方差

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赛时被创飞了，所以应当好好想一下这样的题该怎么做。

题目思路

朴素算法

按题意模拟即可。但是显然会炸。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll l,r,d,cnt=0;
int main(){
	cin>>d>>l>>r;
	for(int i=l;i<=sqrt(r);i++){
		for(int j=i;j<=sqrt(r);j++){
			if((j+i)*(j-i)==d) cnt++;
		}
	}	
	cout<<cnt;
	return 0;
}

时间复杂度 \(O(n^{2})\)。

优化

平方差公式：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)。

由题可得 \(x^2-y^2=d\) 可以变成 \((x-y)(x+y)=d\)。
令 \(a=x-y\)，\(b=x+y=\frac{d}{a}\)，则一定满足 \(a < b\) 且 \(a \cdot b = d\)。所以枚举 \(a\) 即可。枚举范围 \(\left[1,\sqrt{d}\right)\)。
又可得 \(x=\frac{a+b}{2}\)，\(y=\frac{b-a}{2}\)，判断是否满足 \(l \le y^2 < x^2 \le r\) 即可。
注意为了使 \(x\) 和 \(y\) 为整数，\(a\) 和 \(b\) 的奇偶性必须相同。
时间复杂度 \(O(\sqrt{d})\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll d,l,r,cnt;
int main() {
    cin>>d>>l>>r;
    for (ll a=1;a<sqrt(d);a++) {
        if(d%a!=0) continue;
        ll b=d/a;
        if((a%2)!=(b%2)) continue;
        ll x=(a+b)/2;
        ll y=(b-a)/2;
        if(y*y>=l&&x*x<=r&&y*y<x*x) cnt++;
    }
    cout<<cnt;
    return 0;
}