「题解」agc031_c Differ by 1 Bit

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题目

题目链接:洛谷 AT4693AtCoder agc031_c

题意概述

给定三个数 \(n,a,b\),求一个 \(0\sim 2^n-1\) 的排列满足下列三个条件:

  • \(p_1=a\)
  • \(p_{2^n}=b\)
  • \(\operatorname{popcount}(p_i\oplus p_{i+1})=1\),其中 \(\oplus\) 表示按位异或。

请你判定是否可以构造并输出方案(若可以)。

题解

启发式的画图

直接考虑这个问题,似乎有些困难?

我们先用简单的语言,将它转化为一个图论问题。

图论转化

如果两个整数 \(a,b\in[0,2^n)\),满足 \(\operatorname{popcount}(a\oplus b)=1\),那么我们就在 \(a,b\) 之间连一条边。

那么问题转化为了给定起点与终点,求一条长度为 \(2^n\) 的简单路径。


转化成了图论问题,我们肯定要用几何直观来看看这个图到底是什么样子,采用画图工具 Graph Editor,取 \(n=2,3\) 时:

图片 \(n=2\)n2.png

图片 \(n=3\)n3.png

这提醒我们,整个图将会形成一个 \(n\) 维立方体。

具体地,我们考虑证明这件事,非常简单,换个角度即可。我们将一个二进制数各位上的数分开,看作各个维度的坐标值,例如 \(0=(00)_2\to (0,0),2=(10)_2\to (1,0)\)。那么我们不难得到此结论。

熟练解决图论问题

我们不难发现,这个图是一个二分图,其中左部点编号对应的二进制数中 \(1\) 的个数为偶数,右部点编号对应的二进制数中 \(1\) 的个数为奇数。

我们由此得到结论,如果存在答案,那么 \(\operatorname{popcount}(a\oplus b)\equiv 1\pmod 2\)

这个条件对解的必要性已经得到证明,下面我们通过构造来证明其充分性。

构造与递推

首先为了化简问题,我们不难发现从 \(a\) 走到 \(b\) 等价于从 \(0\) 走到 \(a\oplus b\),这是因为异或的自反律与交换律,即 \(p_i\oplus x\oplus p_{i+1}\oplus x=p_i\oplus p_{i+1}\)

对于 \(n\) 维立方体,它一定是由两个 \(n-1\) 维立方体上下拼接而成。

因此,我们考虑用类似数学归纳法的方式进行构造。

我们具有归纳基础,因为显然我们会 \(n=1\) 时的情况(一条线段从 \(0\) 走到 \(1\));

我们考虑如何通过 \(n-1\) 维的方案构造 \(n\) 维的方案,我们决定分类讨论:

  • 根据上面的理论,我们分类讨论终点的位置(起点为 \(0\));
  • 终点 \(t\) 与起点在不同的层:我们找到一条合法的从起点走 \(n-1\) 维空间到达 \(x\) 的方案,然后 \(x\) 走到另一层对应的点 \(x'\),再在 \(n-1\) 维空间中从 \(0\) 走到 \(t\oplus x'\) 的方案,\(x\) 可任取;
  • 终点 \(t\) 与起点在同一层:我们直接从 \(0\) 走到 \(t\),然后把路径从路径中任意两个相邻点之间直接分割开来,在中间插入一个下层的 \(n-1\) 维的路径。

上面的文字叙述可能有点难懂,我们画个三维空间的图:

第一种情况:case1.png

第二种情况:case2.png

至此,我们用构造的方法证明了条件的充分性,可解决本题。

时间复杂度为 \(T(n)=2T(n-1)+\Theta(2^n)\),分析可知为 \(\Theta(2^nn)\)

参考程序

参考程序中情况一选取 \(x=1\),情况二选取起点和路径的第二个点。

__builtin_parity(x) 表示求 \(x\) 的二进制表示中 \(1\) 的个数的奇偶性,奇数为 \(1\),偶数为 \(0\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define flush() (fwrite(wbuf,1,wp1,stdout),wp1=0)
#define putchar(c) (wp1==wp2&&(flush(),0),wbuf[wp1++]=c)
static char wbuf[1<<21];int wp1;const int wp2=1<<21;

inline void write(reg int x){
	static char buf[32];
	reg int p=-1;
	if(!x) putchar('0');
	else while(x) buf[++p]=(x%10)^'0',x/=10;
	while(~p) putchar(buf[p--]);
	return;
}

inline void writeln(const char *s){
	while(*s) putchar(*(s++));
	putchar('\n');
	return;
}

const int MAXN=17;

inline void solve(reg int x,reg int a,reg int ans[]){
	if(!x)
		ans[0]=0;
	else if(x==1)
		ans[0]=0,ans[1]=1;
	else{
		reg int val=1<<(x-1);
		if(a&val){
			solve(x-1,1,ans),solve(x-1,a^(val+1),ans+val);
			for(reg int i=val;i<(1<<x);++i)
				ans[i]=ans[i]^(val+1);
		}
		else{
			solve(x-1,a,ans),solve(x-1,ans[1],ans+val);
			for(reg int i=val;i<(1<<x);++i)
				ans[i]=ans[i]^val;
			static int tmp[1<<MAXN];
			tmp[0]=ans[0];
			for(reg int i=0;i<val;++i)
				tmp[i+1]=ans[i+val];
			for(reg int i=val+1;i<(1<<x);++i)
				tmp[i]=ans[i-val];
			for(reg int i=0;i<(1<<x);++i)
				ans[i]=tmp[i];
		}
	}
	return;
}

int n,A,B;
int ans[1<<MAXN];

int main(void){
	scanf("%d%d%d",&n,&A,&B);
	B^=A;
	if(__builtin_parity(B)){
		writeln("YES");
		solve(n,B,ans);
		reg int U=(1<<n)-1;
		for(reg int i=0;i<=U;++i)
			write(ans[i]^A),putchar(i==U?'\n':' ');
	}
	else
		writeln("NO");
	flush();
	return 0;
}
posted @ 2021-05-30 20:53  Lu_Anlai  阅读(51)  评论(0编辑  收藏  举报