[Dwango Programming Contest 6th C] Cookie Distribution

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题意概述

有 \(N\) 个孩子，用 \(K\) 天给孩子们发糖果。

第 \(i\) 天有 \(a_i\) 个糖果，等概率地发给这 \(n\) 个孩子(每一天每个孩子最多可以获得一个糖果)，设 \(K\) 天后第 \(i\) 个孩子获得的糖果为 \(c_i\)。

求 \(\prod_{i = 1}^n c_i\) 的期望乘上 \(\prod_{i = 1}^n \binom N {a_i}\) ，答案对 \(10^9 + 7\) 取模。

\(N \le 10^3, K \le 20\)

正解

期望乘上那个组合数就是所有方案下的答案了对吧。

直接 dp 肯定不太好做，要记录每一个人选了多少个曲奇，考虑换一种方式来表示原问题。

首先原问题可以转化成这样一个问题：

每一个人从拥有的曲奇里选择某一天得到的那一个曲奇， 求不同的选法

答案其实也正好是 \(\prod c_i\) (神奇的是这样做与原问题是等价的)。

所以我们只需要关心每个人选择的那个曲奇就好了。

设 \(x_i\) 表示有 \(x_i\) 个孩子在第 \(i\) 天得到了它们选择的曲奇。

先不考虑顺序, 钦定就是前面 \(x_i\) 个人得到了这 \(x_i\) 个曲奇。

转移系数是 \(\binom {N - x_i} {a_i - x_i}\) (将剩下还没被选的曲奇随便分给其他人)。

最后再将人排序, 乘上 \(\frac {N!} {\prod x_i!}\) (同一天选的与顺序没有关系, 所以要除 \(x_i!\))。

答案其实就是：

\[N! \prod_{i = 1}^n \frac {\binom {N - x_i} {a_i - x_i}} {x_i!} \]

根据这个式子可以设出状态 \(f(i, j)\) 表示前 \(i\) 天有 \(j\) 个人得到了选择的那个曲奇的方案数。

转移时枚举 \(x_i\) 并乘上有关于 \(x_i\) 的系数。

状态 \(O(NK)\)， 转移 \(O(N)\)， 时间复杂度 \(O(N^2 K)\)。

\(\color {DeepSkyBlue} {Code}\)

/*
	f[i][j] = \sum f[i - 1][j - x] * comb(n - x, a[i] - x) * ifac[x]
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define K 25
#define N 1005

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;

int n, k;
int a[K], f[K][N];
int fac[N], ifac[N];

inline int fpm(int x, int y) {
	int r = 1;
	while(y) {
		if(y & 1) r = 1LL * r * x % mod;
		x = 1LL * x * x % mod, y >>= 1;
	}
	return r;
}
inline int perm(int x, int y) { return 1LL * fac[x] * ifac[x - y] % mod; }
inline int comb(int x, int y) { return 1LL * perm(x, y) * ifac[y] % mod; }

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int i = 1; i <= k; ++i)
		scanf("%d", &a[i]);
	
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = 1LL * i * fac[i - 1] % mod;
	ifac[n] = fpm(fac[n], mod - 2);
	for(int i = n; i; --i) ifac[i - 1] = 1LL * i * ifac[i] % mod;
	
	f[0][0] = 1;
	for(int i = 0; i < k; ++i) {
		for(int j = 0; j <= n; ++j) {
			if(!f[i][j]) continue;
			for(int x = 0; x <= a[i + 1] && j + x <= n; ++x) {
				f[i + 1][j + x] = (f[i + 1][j + x] + 
				1LL * f[i][j] * comb(n - x, a[i + 1] - x) % mod * ifac[x]) % mod;
			}
		}
	}
	
	int ans = 1LL * fac[n] * f[k][n] % mod;
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}