UOJ450 复读机 生成函数、单位根反演

传送门


\(d=1\)答案显然是\(k^n\)

\(d=2\)时考虑指数型生成函数,那么答案是

\(\begin{align*}n![x^n](\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!} [2 \mid i])^k &= n![x^n] (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^k \\ &= \frac{n!}{2^k}[x^n] \sum\limits_{i=0}^k \binom{k}{i} e^{k-2i} \\ &= \frac{n!}{2^k} \sum\limits_{i=0}^k \binom{k}{i} \frac{(k-2i)^n}{n!} \\ &= \frac{1}{2^k} \sum\limits_{i=0}^k \binom{k}{i} (k-2i)^n \end{align*}\)

\(d=3\)时套用上面的式子并使用单位根反演的技巧可以得到答案为

\(\begin{align*}n![x^n](\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!} [3 \mid i])^k &= n![x^n] (\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!} (\frac{1}{3}\sum\limits_{j=0}^2 w_{3}^{ij}))^k \\ &= \frac{n!}{3^k}[x^n] (\sum\limits_{j=0}^2 \sum\limits_{i=0}^\infty \frac{(w_3^jx)^i}{i!})^k \\ &= \frac{n!}{3^k} [x^n](e^x + e^{w_3 x} + e^{w_3^2x})^k \end{align*}\)

因为\(e^{ax} \equiv e^{(a \mod 19491001)x} \mod 19491001\),所以对于每个\(p \in [0,19491000]\)求出\(e^{px}\)的系数就可以求答案。注意到\(k\)比较小,那么可以枚举答案式中\(w_3\)\(w_3^2\)分别选了多少,用组合数进行贡献,复杂度\(O(k^2logn)\)

代码

posted @ 2019-05-21 17:08 CJOIer_Itst 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏